在平面直角坐標系
中，已知橢圓
：
（
）的離心率
且橢圓
上的點到點
的距離的最大值為3.
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）在橢圓上，是否存在點
，使得直線
：
與圓
：
相交于不同的兩點
、
，且
的面積最大？若存在，求出點
的坐標及對應的的面積；若不存在，請說明理由.
（1）
；（2）存在，M的坐標為
、
、
、
，最大值為
。
【解析】
試題分析：（1）離心率
，得到
，即此時橢圓方程為
，設橢圓上的點為P
，
兩點間的距離等于3，可得到b=1，所以可求得橢圓方程；（2）在解析幾何中，三角形的面積公式通常有兩種計算方式，?
?
，本題由于沒有給出角度的關系，所以采用第一種方法。通過聯立方程即可得到M的坐標。
試題解析：（Ⅰ）因為
，所以
，于是
. 1分
設橢圓
上任一點
，橢圓方程為
，
，
=
①當
，即
時，
（此時
舍去； 3分
②當
即
時，
5分
綜上橢圓C的方程為
。 6分
（Ⅱ）圓心到直線
的距離為
，弦長
，所以
的面積為
8分
點
,
10分
當
時，
由
得
綜上所述，橢圓上存在四個點、、、，使得直線與圓相交于不同的兩點
、
，且的面積最大，且最大值為
. 12分
考點：直線與橢圓的位置關系
科目：高中數學 來源：2014-2015學年黑龍江省高二上學期期中理科數學試卷（解析版） 題型：選擇題
已知
是橢圓和雙曲線的公共焦點，
是它們的一個公共點，且
，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數之和的最大值為（ ）
A．
B．
C．
D．
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科目：高中數學 來源：2014-2015學年黑龍江省高二上學期期中理科數學試卷（解析版） 題型：選擇題
設
，（其中
是兩兩垂直的單位向量），若
，則實數
的值分別是（ ）
A．
B．
C．
D．
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科目：高中數學 來源：2014-2015學年黑龍江省高二上學期期中考試文科數學試卷（解析版） 題型：解答題
已知直線
經過點
，傾斜角
。
（1）寫出直線
的參數方程；
（2）設與圓
相交于兩點
、
，求點
到、兩點的距離之和。
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科目：高中數學 來源：2014-2015學年黑龍江省高二上學期期中考試文科數學試卷（解析版） 題型：選擇題
點P在雙曲線
上,
是這條雙曲線的兩個焦點,
,
且
的三條邊長成等差數列,則此雙曲線的離心率是 （ ）
A、
B、
C、
D、
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（ ）
B．
D．
，則
。
，
，且
，則實數
的取值范圍_______________.
，
，若
，求實數
、
的值.