Question

拋物線(xiàn)y²=2px的內(nèi)接三角形有兩邊與拋物線(xiàn)x²=2qy相切，證明這個(gè)三角形的第三邊也與x²=2qy相切．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)p＞0，q＞0．又設(shè)y²=2px的內(nèi)接三角形頂點(diǎn)為A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），A₃（x₃，y₃），分別代入拋物線(xiàn)方程，依題意，設(shè)A₁A₂，A₂A₃與拋物線(xiàn)x²=2qy相切，要證A₃A₁也與拋物線(xiàn)x²=2qy相切，由x²=2qy在原點(diǎn)O處的切線(xiàn)是y²=2px的對(duì)稱(chēng)軸，可知原點(diǎn)O不能是所設(shè)內(nèi)接三角形的頂點(diǎn)推斷三個(gè)頂點(diǎn)都不能是（0，0）；故可設(shè)直線(xiàn)A₁A₂的方程，進(jìn)而得A₁A₂方程代入拋物線(xiàn)方程，整理后根據(jù)判別式等于0，求得2p²q+y₁y₂（y₁+y₂）=0同理由于A₂A₃與拋物線(xiàn)x²=2qy相切，A₂A₃也不能與Y軸平行，即x₂≠x₃，y₂≠-y₃，同樣得到2p²q+y₂y₃（y₂+y₃）=0把y₂=-y₁-y₃代入2p²q+y₁y₂（y₁+y₂）=0整理后可說(shuō)明A₃A₁與拋物線(xiàn)x²=2qy的兩個(gè)交點(diǎn)重合，進(jìn)而可判斷只要A₁A₂，A₂A₃與拋物線(xiàn)x²=2qy相切，則A₃A₁也與拋物線(xiàn)x²=2qy相切．
解答：解：不失一般性，設(shè)p＞0，q＞0．又設(shè)y²=2px的內(nèi)接三角形頂點(diǎn)為
A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），A₃（x₃，y₃）
因此y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，y₃²=2px₃
其中y₁≠y₂，y₂≠y₃，y₃≠y₁．
依題意，設(shè)A₁A₂，A₂A₃與拋物線(xiàn)x²=2qy相切，
要證A₃A₁也與拋物線(xiàn)x²=2qy相切
因?yàn)閤²=2qy在原點(diǎn)O處的切線(xiàn)是y²=2px的對(duì)稱(chēng)軸，
所以原點(diǎn)O不能是所設(shè)內(nèi)接三角形的頂點(diǎn)
即（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），
都不能是（0，0）；又因A₁A₂與x²=2qy相切，
所以A₁A₂不能與Y軸平行，即x₁≠x₂，y₁≠-y₂，
直線(xiàn)A₁A₂的方程是，
∵y₂²-y₁²=（y₂-y₁）（y₂+y₁）=2p（x₂-x₁）．
∴A₁A₂方程是y=
A₁A₂與拋物線(xiàn)x²=2qy交點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足
，
由于A₁A₂與拋物線(xiàn)x²=2qy相切，上面二次方程的判別式
△==0．
化簡(jiǎn)得2p²q+y₁y₂（y₁+y₂）=0（1）
同理由于A₂A₃與拋物線(xiàn)x²=2qy相切，A₂A₃也不能與Y軸平行，即
x₂≠x₃，y₂≠-y₃，同樣得到2p²q+y₂y₃（y₂+y₃）=0（2）
由（1）（2）兩方程及y₂≠0，y₁≠y₃，得y₁+y₂+y₃=0．
由上式及y₂≠0，得y₃≠-y₁，也就是A₃A₁也不能與Y軸平行
今將y₂=-y₁-y₃代入（1）式得：2p²q+y₃y₁（y₃+y₁）=0（3）
（3）式說(shuō)明A₃A₁與拋物線(xiàn)x²=2qy的兩個(gè)交點(diǎn)重合，
即A₃A₁與拋物線(xiàn)x²=2qy相切
所以只要A₁A₂，A₂A₃與拋物線(xiàn)x²=2qy相切，
則A₃A₁也與拋物線(xiàn)x²=2qy相切．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線(xiàn)的應(yīng)用和直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的關(guān)系．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和運(yùn)算能力．