Question

（2012•湖北）傳說古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上面畫點或用小石子表示數(shù)．他們研究過如圖所示的三角形數(shù)：
將三角形數(shù)1，3，6，10，…記為數(shù)列{a_n}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列{b_n}，可以推測：
（Ⅰ）b₂₀₁₂是數(shù)列{a_n}中的第

5030

項；
（Ⅱ）b_2k-1=

5k(5k-1)

2

．（用k表示）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件及圖可得出a_n+1=a_n+（n+1），由此遞推式可以得出數(shù)列{a_n}的通項為，a_n=

1

2

n（n+1），由此可列舉出三角形數(shù)1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…
，從而可歸納出可被5整除的三角形數(shù)每五個數(shù)中出現(xiàn)兩個，即每五個數(shù)分為一組，則該組的后兩個數(shù)可被5整除，由此規(guī)律即可求出b₂₀₁₂在數(shù)列{a_n}中的位置；
（II）由（I）中的結(jié)論即可得出b_2k-1═

1

2

（5k-1）（5k-1+1）=

5k(5k-1)

2

．

解答：解：（I）由題設(shè)條件可以歸納出a_n+1=a_n+（n+1），故a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=n+（n-1）+…+2+1=

1

2

n（n+1）
由此知，三角數(shù)依次為1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…
由此知可被5整除的三角形數(shù)每五個數(shù)中出現(xiàn)兩個，即每五個數(shù)分為一組，則該組的后兩個數(shù)可被5整除，
由于b₂₀₁₂是第2012個可被5整除的數(shù)，故它出現(xiàn)在數(shù)列{a_n}按五個一段分組的第1006組的最后一個數(shù)，由此知，b₂₀₁₂是數(shù)列{a_n}中的第1006×5=5030個數(shù)
故答案為5030
（II）由于2k-1是奇數(shù)，由（I）知，第2k-1個被5整除的數(shù)出現(xiàn)在第k組倒數(shù)第二個，故它是數(shù)列{a_n}中的第k×5-1=5k-1項，所以b_2k-1═

1

2

（5k-1）（5k-1+1）=

5k(5k-1)

2

故答案為

5k(5k-1)

2

點評：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系，數(shù)列的表示及歸納推理，解題的關(guān)鍵是由題設(shè)得出相鄰兩個三角形數(shù)的遞推關(guān)系，由此列舉出三角形數(shù)，得出結(jié)論“被5整除的三角形數(shù)每五個數(shù)中出現(xiàn)兩個，即每五個數(shù)分為一組，則該組的后兩個數(shù)可被5整除”，本題綜合性強，有一定的探究性，是高考的重點題型，解答時要注意總結(jié)其中的規(guī)律．