Question

已知f（x）=log_a（1-x），g（x）=log_a（1+x）（a＞0，a≠1）．
（1）判斷f（x）與g（x）圖象的位置關(guān)系；
（2）當0＜a＜1時，比較|f（x）|與|g（x）|的大�。�
（3）討論關(guān)于x的方程的實根的個數(shù)．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=log_a（1-x），g（x）=log_a（1+x）（a＞0，a≠1），
∴g（x）=f（-x）．
∴f（x）與g（x）的圖象關(guān)于y軸對稱．
（2）[f（x）]²-[g（x）]²=[f（x）+g（x）][f（x）-g（x）]=•，
∵-1＜x＜1，∴0＜1-x²＜1，
∵0＜a＜1，∴，
當-1＜x＜0時，，∴，∴|f（x）|＜|g（x）|；
當x=0時，=0，|f（x）|=|g（x）|；
當0＜x＜1時，0＜＜1，，∴|f（x）|＞|g（x）|．
（3）∵，f（x）=log_a（1-x），g（x）=log_a（1+x），
∴等價于，
∴k＜1，-1＜x＜2，k=x²-2x-1=（x-1）²-2≥-2．

∴k＜-2時，關(guān)于x的方程無解，實根的個數(shù)為0個；
-1≤k＜1，或k=-2時，關(guān)于x的方程的實根的個數(shù)為1個；
-2＜k＜-1時，關(guān)于x的方程的實根的個數(shù)為2個．
分析：（1）由題設(shè)知g（x）=f（-x）．所以f（x）與g（x）的圖象關(guān)于y軸對稱．
（2）[f（x）]²-[g（x）]²=[f（x）+g（x）][f（x）-g（x）]=•，由此根據(jù)x的取值范圍進行分類討論，能比較|f（x）|與|g（x）|的大小．
（3），f（x）=log_a（1-x），g（x）=log_a（1+x）等價于，由此能求出關(guān)于x的方程實根的個數(shù)．
點評：本題考查兩個函數(shù)的圖象的位置關(guān)系的判斷，考查兩個函數(shù)的絕對值的大小的比較，考查函數(shù)的根的個數(shù)的判斷．解題時要認真審題，仔細解答，注意分類討論法和等價轉(zhuǎn)化法的合理運用．