Question

設(shè)函數(shù)f（x）=cos²x+θcosx+sinθ，x∈[-

2π

3

，

π

6

]，是否存在θ∈[-

π

2

，

π

2

]，使得f（x）的最小值是-

1

2

-cos（θ+

5π

2

），若存在，試求出θ，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：令cosx=t將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值，求出二次函數(shù)的對稱軸，討論對稱軸與定義域的關(guān)系，求出二次函數(shù)的最小值，列出關(guān)于θ的方程，求出θ．

解答：解：設(shè)cosx=t則f（x）=y=t²+θt+sinθ，t∈[-

1

2

，1]
y=t²+θt+sinθ開口向上，對稱軸t=-

θ

2

，-

θ

2

∈[-

π

4

，

π

4

]
1當(dāng)-

θ

2

∈[-

1

2

，

π

4

]即-

π

2

≤θ≤1時
y_min=y（-

θ

2

）=

θ2

4

-

θ2

2

+sinθ=-

θ2

4

+sinθ
由-

θ2

4

+sinθ=-

1

2

-cos（θ+

5π

2

）=-

1

2

+sinθ?θ²=2?θ=±

2

又-

π

2

≤θ1∴此時θ=-

2

2當(dāng)-

θ

2

∈[-

π

4

，-

1

2

]，即1＜θ≤

π

2

時，
y關(guān)于t的函數(shù)在[-

1

2

，1]上是增函數(shù)
y_min=y（-

1

2

）=

1

4

-

1

2

θ+sinθ
-

π

8

，

π

8

，

3

8

π，

5

8

π，

7π

8

由

1

4

-

1

2

θ+sinθ=-

1

2

-cos（θ+

5

2

π）
?

1

2

θ=

3

4

?θ-

3

2

∈（1，

π

2

）合題意
∴存在θ=-

2

，或θ=

3

2

．

點(diǎn)評：本題考查通過換元將三角函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，注意：換元要注意新變量的范圍；求二次函數(shù)的最值關(guān)鍵是弄清對稱軸與給定區(qū)域的關(guān)系．