Question

已知函數(shù)f（x）=x³+px²+9qx+p+q+3（x∈R）的圖象關(guān)于原點對稱，其中p，q是常實數(shù)．
（Ⅰ）求p，q的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，4]上的最值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于函數(shù)關(guān)于原點對稱，則函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)即可解出p、q值；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求區(qū)間上的最值，要先求導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0解出極值點，再與端點值比較大小即可．
解答：解：（Ⅰ）由于函數(shù)f（x）=x³+px²+9qx+p+q+3（x∈R）的圖象關(guān)于原點對稱，
則f（x）為奇函數(shù)，所以偶次項系數(shù)p=0，p+q+3=0，解得p=0，q=-3．
（Ⅱ）由于f（x）=x³-27x，∴f′（x）=3x²-27=3（x-3）（x+3），
令f′（x）=0，則x=-3或3．
所以當(dāng)x∈[-1，3）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（3，4]時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
而f（-1）=26，f（4）=-44，f（3）=-54，
所以f（x）_min=f（3）=-54，f（x）_max=f（-1）=26．
點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的．