Question

設(shè)f（x）=x²+x，用g（n）表示f（x）當x∈[n，n+1]（n∈N^*）時的函數(shù)值中整數(shù)值的個數(shù)．
（1）求g（n）的表達式．
（2）設(shè)a_n=

2n3+3n2

g(n)

（n∈N^*），求S_2n=

2n

k=1

（-1）^k-1a_k．
（3）設(shè)b_n=

g(n)

2n

，T_n=b₁+b₂+…+b_n，若T_n＜l（l∈Z），求l的最小值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)f（x）=x²+x的圖象形狀，分析出當x∈[n，n+1]（n∈N^*）時，f（x）的單調(diào)性和最值，進而可得答案；
（2）利用并項求和，可得S_2n=

2n

k=1

（-1）^k-1a_k．
（3）利用錯位相減法求和，即可求l的最小值．

解答： 解．（1）對n∈N^*，函數(shù)f（x）=x²+x在[n，n+1]（n∈N^*）單增，
當x=n時，函數(shù)f（x）取最小值n²+n；
當x=n+1時，函數(shù)f（x）取最大值（n+1）²+n+1=n²+3n+2；
故f（x）的所有整數(shù)值的個數(shù)為（n²+3n+2）-（n²+n）+1=2n+3個；
（2）a_n=

2n3+3n2

g(n)

=n²，
故S_2n=（1²-2²）+（3²-4²）+…+（2n-1）²-（2n）²=-[3+7+…+（4n-1）]=-n（n+1）；
（3）由b_n=

g(n)

2n

得T_n=

5

2

+

7

22

+…+

2n+3

2n

，且

1

2

T_n=

5

22

+

7

23

+…+

2n+3

2n+1

兩式相減，得

1

2

T_n=

7

2

-

2n+7

2n+1

于是T_n=7-

2n+7

2n

，
故7-

2n+7

2n

＜l且l∈Z，則l的最小值是7．

點評：本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查數(shù)列的求和，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．