Question

設a₁，a₂，…，a_n為1，2，…，n按任意順序做成的一個排列，f_k是集合{a_i|a_i＜a_k，i＞k}元素的個數(shù)，而g_k是集合{a_i|a_i＞a_k，i＜k}元素的個數(shù)（k=1，2，…，n），規(guī)定f_n=g₁=0，例如：對于排列3，1，2，f₁=2，f₂=0，f₃=0
（I）對于排列4，2，5，1，3，求

n

k=1

fk
（II）對于項數(shù)為2n-1 的一個排列，若要求2n-1為該排列的中間項，試求

n

k=1

gk的最大值，并寫出相應得一個排列
（Ⅲ）證明

n

k=1

fk=

n

k=1

gk．

Answer 1

分析：（I）直接按定義來操作，根據(jù)f_k是集合{a_i|a_i＜a_k，i＞k}元素的個數(shù)，看出符合條件的元素的個數(shù)，得到結(jié)果．
（II）（II）當項數(shù)為2n-1 的一個排列，2n-1為該排列的中間項，前面有n項，后面有n項，要求

n

k=1

gk的最大值，只要使得排列滿足n到2n-2排列到2n-1的前面，1到n-1排列到2n-1的后面，得到結(jié)果．
（III）f_k是集合{a_i|a_i＜a_k，i＞k}元素的個數(shù)，而g_k是集合{a_i|a_i＞a_k，i＜k}元素的個數(shù)（k=1，2，…，n），規(guī)定f_n=g₁=0，依次得到f_n-1=g₂，…，得到各項之和相等．

解答：解：（I）∵排列4，2，5，1，3，
f_k是集合{a_i|a_i＜a_k，i＞k}元素的個數(shù)，
∴f₁=3，f₂=1，f₃=2，f₄=0，f₅=0，
∴

n

k=1

fk=3+1+2+0+0=6．
（II）當項數(shù)為2n-1 的一個排列，
2n-1為該排列的中間項，前面有n項，后面有n項，
∴要求

n

k=1

gk的最大值，只要使得排列滿足n到2n-2排列到2n-1的前面，1到n-1排列到2n-1的后面，
∴g₁=0，g₂=1，g₃=2，…g_2n-1=2n-2，
∴

n

k=1

gk的最大值是

(1+2n-2)(2n-2)

2

=（2n-1）（n-1）
比如舉一個包含7項的數(shù)列：6，5，4，7，3，2，1
（III）∵f_k是集合{a_i|a_i＜a_k，i＞k}元素的個數(shù)，
而g_k是集合{a_i|a_i＞a_k，i＜k}元素的個數(shù)（k=1，2，…，n），
規(guī)定f_n=g₁=0，
∴f_n-1=g₂
f_n-2=g₃
…
∴f₁=g_n．
∴

n

k=1

fk=

n

k=1

gk

點評：本題是一道綜合性很強的題，解題時要認真審題，理解定義，并會用新定義來解題，仔細解答，避免錯誤．