Question

20．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=AP=2CD=2，M是棱PB上一點．
（Ⅰ）若BM=2MP，求證：PD∥平面MAC；
（Ⅱ）若平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，求證：PA⊥平面ABCD；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若二面角B-AC-M的余弦值為$\frac{2}{3}$，求$\frac{PM}{PB}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結BD交AC于點O，連結OM，推導出OM∥PD，由此能證明PD∥平面MAC．
（Ⅱ）推導出AB⊥PA，AD⊥PA，由此能證明PA⊥平面ABCD．
（Ⅲ）分別以邊AD，AB，AP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出$\frac{PM}{PB}$的值．

解答 證明：（Ⅰ）連結BD交AC于點O，連結OM．
因為 AB∥CD，AB=2CD，所以$\frac{BO}{DO}=\frac{AB}{CD}=2$．
因為 BM=2MP，所以$\frac{BM}{PM}=2$．所以 $\frac{BM}{PM}=\frac{BO}{DO}$．
所以OM∥PD．…（2分）
因為 OM?平面MAC，PD?平面MAC，
所以 PD∥平面MAC．…（4分）
（Ⅱ）因為 平面PAD⊥平面ABCD，AD⊥AB，
平面PAD∩平面ABCD=AD，AB?平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD． …（6分）
因為PA?平面PAD，所以AB⊥PA．
同理可證：AD⊥PA．
因為 AD?平面ABCD，AB?平面ABCD，AD∩AB=A，
所以PA⊥平面ABCD．…（9分）
解：（Ⅲ）分別以邊AD，AB，AP所在直線為x，y，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系．
由AB=AD=AP=2CD=2，
得A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，1，0），D（2，0，0），P（0，0，2），
則$\overrightarrow{AC}=（2，1，0）$，$\overrightarrow{PB}=（0，2，-2）$．
由（Ⅱ）得：PA⊥平面ABCD．
所以 平面ABCD的一個法向量為$\overrightarrow n=（0，0，1）$．…（10分）
設$\frac{PM}{PB}=λ$（0≤λ≤1），即$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PB}$．所以 $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AP}+λ\overrightarrow{PB}=（0，2λ，2-2λ）$．
設平面AMC的法向量為$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{AC}=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{AM}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}2x+y=0\\ 2λ•y+（2-2λ）•z=0.\end{array}\right.$
令x=λ-1，則y=2-2λ，z=-2λ．所以 $\overrightarrow m=（λ-1，2-2λ，-2λ）$．
因為 二面角B-AC-M的余弦值為$\frac{2}{3}$，
所以 $\frac{|2λ|}{{\sqrt{9{λ^2}-10λ+5}}}=\frac{2}{3}$，解得$λ=\frac{1}{2}$．
所以 $\frac{PM}{PB}$的值為$\frac{1}{2}$．…（14分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面垂直的證明，考查線段的比值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．