Question

如圖，已知正三棱柱ABC=A₁B₁C₁的各棱長都是4，E是BC的中點，動點F在側(cè)棱CC₁上，且不與點C重合．
（Ⅰ）當(dāng)CF=1時，求證：EF⊥A₁C；
（Ⅱ）設(shè)二面角C-AF-E的大小為θ，求tanθ的最小值．

Answer 1

分析：（I）過E作EN⊥AC于N，連接EF，NF，AC₁，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知NF為EF在側(cè)面A₁C內(nèi)的射影，根據(jù)

CF

CC1

=

CN

CA

=

1

4

，得NF∥AC₁，又AC₁⊥A₁C，故NF⊥A₁C，由三垂線定理可得結(jié)論；
（II）連接AF，過N作NM⊥AF與M，連接ME根據(jù)三垂線定理得EM⊥AF，則∠EMN是二面角C-AF-E的平面角即∠EMN=θ，在直角三角形CNE中，求出NE，在直角三角形AMN中，求出MN，故tanθ=

3

3sinα

，根據(jù)α的范圍可求出最小值．

解答：解：（I）過E作EN⊥AC于N，連接EF，NF，AC₁，由直棱柱的性質(zhì)可知，底面ABC⊥側(cè)面A₁C
∴EN⊥側(cè)面A₁C
NF為EF在側(cè)面A₁C內(nèi)的射影
在直角三角形CNF中，CN=1
則由

CF

CC1

=

CN

CA

=

1

4

，得NF∥AC₁，又AC₁⊥A₁C，故NF⊥A₁C
由三垂線定理可知EF⊥A₁C
（II）連接AF，過N作NM⊥AF與M，連接ME
由（I）可知EN⊥側(cè)面A₁C，根據(jù)三垂線定理得EM⊥AF
∴∠EMN是二面角C-AF-E的平面角即∠EMN=θ
設(shè)∠FAC=α則0°＜α≤45°，
在直角三角形CNE中，NE=

3

，在直角三角形AMN中，MN=3sinα
故tanθ=

3

3sinα

，又0°＜α≤45°∴0＜sinα≤

2

2

故當(dāng)α=45°時，tanθ達(dá)到最小值，
tanθ=

6

3

，此時F與C₁重合

點評：本題主要考查了空間直線與平面的位置關(guān)系和二面角等基礎(chǔ)知識，同時考查了空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．