Question

函數(shù)f（x）=

1

3

x³-x²+a，函數(shù)g（x）=x²-3x，它們的定義域均為[1，+∞），并且函數(shù)f（x）的圖象始終在函數(shù)g（x）的上方，那么a的取值范圍是（　�。�

• A、（0，+∞）
• B、（-∞，0）
• C、（-

  4

  3

  ，+∞）
• D、（-∞，

  4

  3

  ）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由題意知f（x）＞g（x）在[1，+∞）上恒成立，從而f（x）-g（x）=

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3

x3-2x2+3x+a＞0在[1，+∞）上恒成立，設(shè)h（x）=

1

3

x3-2x2+3x-a，由題意知h（x）_最小值＞0．由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=

1

3

x³-x²+a，
函數(shù)g（x）=x²-3x，它們的定義域均為[1，+∞），
并且函數(shù)f（x）的圖象始終在函數(shù)g（x）的上方，
∴f（x）＞g（x）在[1，+∞）上恒成立，
∴f（x）-g（x）=

1

3

x3-2x2+3x+a＞0在[1，+∞）上恒成立，
設(shè)h（x）=

1

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x3-2x2+3x-a，
則h′（x）=x²-4x+3，
由h′（x）＞0，得x＞3或x＜1，由h′（x）＜0，得1＜x＜3，
∵x∈[1，+∞），
∴h（x）的增區(qū)間為（3，+∞），減區(qū)間為[1，3），
∴h（x）_最小值=h（3）=9-18+9+a=a＞0．
∴a的取值范圍是（0，+∞）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．