Question

如圖，在六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁∥CC₁，A₁B=A₁D，AB=AD．
求證：
（1）AA₁⊥BD；
（2）BB₁∥DD₁．

Answer 1

解：（1）取BD中點(diǎn)E，連接AE、A₁E
∵△ABD中，AB=AD，E為BD中點(diǎn)
∴AE⊥BD，同理可得A₁E⊥BD，
∵AE、A₁E?平面A₁AE，AE∩A₁E=E
∴BD⊥平面A₁AE，
∵AA₁?平面A₁AE，∴AA₁⊥BD；
（2）∵AA₁∥CC₁，AA₁?平面AA₁B₁B，CC₁?平面AA₁B₁B，
∴CC₁∥平面AA₁B₁B
∵CC₁?平面CC₁B₁B，平面CC₁B₁B∩平面AA₁B₁B=BB₁
∴BB₁∥CC₁，同理可得DD₁∥CC₁，
∴BB₁∥DD₁．
分析：（1）取BD中點(diǎn)E，連接AE、A₁E，根據(jù)等腰三角形底邊的中線也是底邊上的高，得AE⊥BD且A₁E⊥BD，因此BD⊥平面A₁AE，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)，得AA₁⊥BD；
（2）根據(jù)AA₁∥CC₁，結(jié)合線面平行判定定理，可證出CC₁∥平面AA₁B₁B．再用線面平行的性質(zhì)定理，得BB₁∥CC₁，同理可得DD₁∥CC₁，根據(jù)平行線的傳遞性，可得BB₁∥DD₁．
點(diǎn)評：本題給出特殊六面體，求證線線垂直和線線平行，著重考查了直線與平面平行、垂直的判定與性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意規(guī)范書寫，不要遺漏必要的過程．