Question

某大學(xué)對(duì)參加了“世博會(huì)”的該校志愿者實(shí)施“社會(huì)教育實(shí)踐”學(xué)分考核，因該批志愿者表現(xiàn)良好，該大學(xué)決定考核只有合格和優(yōu)秀兩個(gè)等次，若某志愿者考核為合格，授予0.5個(gè)學(xué)分；考核為優(yōu)秀，授予1個(gè)學(xué)分．假設(shè)該校志愿者甲、乙、丙考核為優(yōu)秀的概率分別為、、，他們考核所得的等次相互獨(dú)立．
（Ⅰ）求在這次考核中，志愿者甲、乙、兩三人中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率；
（Ⅱ）記這這次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得學(xué)分之和為隨機(jī)變量ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

【答案】分析：（I）我們分別將“甲考核為優(yōu)秀”，“乙考核為優(yōu)秀”，“丙考核為優(yōu)秀”，“志愿者甲、乙、兩三人中至少有一名考核為優(yōu)秀”記為A，B，C，E，根據(jù)相互獨(dú)立事件與對(duì)立事件的定義，可得事件A，B，C相互獨(dú)立，與事件E是對(duì)立事件，根據(jù)相互獨(dú)立事件乘法公式及對(duì)立事件概率減法公式，可得在這次考核中，志愿者甲、乙、兩三人中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率；
（Ⅱ）由已知中考核為合格，授予0.5個(gè)學(xué)分；考核為優(yōu)秀，授予1個(gè)學(xué)分．我們要得ξ的可能取值為，2，，3，分別計(jì)算出ξ取得各值時(shí)的概率，即可得到隨機(jī)變量ξ的分布列，代入數(shù)學(xué)期望公式，即可得到數(shù)學(xué)期望Eξ的值．
解答：解：（I）記“甲考核為優(yōu)秀”為事件A，“乙考核為優(yōu)秀”為事件B，
“丙考核為優(yōu)秀”為事件C，“志愿者甲、乙、兩三人中至少有一名考核為優(yōu)秀”為事件E，
則事件A，B，C相互獨(dú)立，與事件E是對(duì)立事件
則P（E）=1-P（）=1-P（）•P（）•P（）=1-=
（II）ξ的可能取值為，2，，3
∵P（ξ=）=P（）=，
P（ξ=2）=P（A••）+P（•B•）+P（••C）=
P（ξ=）=P（A•B•）+P（A••C）+P（•B•C）=
P（ξ=3）=P（A•B•C）=
∴ξ的分布列為：

∴E（ξ）==
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，離散型隨機(jī)變量及其分布列，離散型隨機(jī)變量的期望，其中在求隨機(jī)變量ξ的分布列時(shí)，對(duì)隨機(jī)變量的每一個(gè)取值，要注意不重不漏，以便準(zhǔn)確的計(jì)算出ξ取得各值時(shí)的概率，這也是計(jì)算分布列及數(shù)學(xué)期望時(shí)最容易產(chǎn)生的錯(cuò)誤．