如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，各條棱長都相等，AC=
3
，∠BAD=60°，∠BAA1=∠DAA1=45°，求BD1的棱長，求證BD⊥平面ACC1A1．
考點：直線與平面垂直的判定
專題：平面向量及應(yīng)用,空間位置關(guān)系與距離
分析：（1）由
BD1
2=（
BA
+
AD
+
DD1
）2，能求出BD1的棱長．
（2）過A1作A1O⊥平面ABCD，O為垂足．可證O在∠BAD的角平分線，即AC上，可得BD⊥AC，BD⊥A1O，從而可證BD⊥平面ACC1A1．
解答： 解：（1）∵在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，各條棱長都相等，AC=
3
，∠BAD=60°，
∴可解得：平行六面體ABCD-A1B1C1D1的棱長均為1，
∠BAD=60°，∠BAA1=∠DAA1=45°，
∴
BD1
2=（
BA
+
AD
+
DD1
）2=
BA
2+
AD
2+
DD1
2+2|
BA
||
AD
|•cos60°+2|
AD
||
DD1
|•cos135°+2|
BA
||
DD1
|•cos45°
=1+1+1+1-
2
+
2
=4，
∴對角線BD1的長為2．
（2）解：過A1作A1O⊥平面ABCD，O為垂足．
∵∠BAA1=∠DAA1，AB=AD，各條棱長都相等，
∴O在∠BAD的角平分線，即AC上，
∴BD⊥AC，BD⊥A1O，
∵AC∩A1O=O，A1C1∥AC，C1?平面ACA1C1，
∴BD⊥平面ACC1A1．
點評：本題考查對角線的長的求法，直線與平面垂直的判定，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用，屬于基本知識的考查．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（k+
4
k
）lnx+
4-x2
x
，其中常數(shù)　k＞0．
（1）討論f（x）在（0，2）上的單調(diào)性；
（2）若k∈[4，+∞），曲線y=f（x）上總存在相異兩點M（x1，y1），N（x2，y2）使得曲線y=f（x）在M，N兩點處切線互相平行，求x1+x2的取值范圍．

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已知函數(shù)f（x）=
alnx+1
ex
在x=1處的切線為y=
1
e
．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）設(shè)f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，證明：對任意x＞0，x•f′（x）-1＜
1
e
-
x
ex
．

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三個平面分空間為八部分，則這三個平面有
 
條交線，這些交線有
 
個交點．

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樣本容量為200的頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計，樣本數(shù)據(jù)落在[6，10）內(nèi)的
 
，估計樣本的眾數(shù)為
 
，中位數(shù)為
 
，平均數(shù)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C的參數(shù)方程為
x=1+2cosθ
y=2sinθ
（θ為參數(shù)），圓C與y軸的交點為A、B，則△ABC的面積為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)曲線y=ax3在點（1，a）處的切線與直線6x-y+2=0平行，則a=（　�。�
A、2
B、-2
C、
1
2
D、-
1
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}的首項為3，公差為4，則該數(shù)列的前n項和Sn=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

a
，
b
為非零向量，“函數(shù)f（x）=（
a
x+
b
）2為偶函數(shù)”是“
a
⊥
b
”的（　�。�
A、充分但不必要條件
B、必要但不充分條件
C、充要條件
D、非充非要條件

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