Question

如圖所示，橢圓Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，橢圓Γ上的點到F₁，F(xiàn)₂的距離之差的最大值為2，且其離心率e是方程4x²-8x+3=0的根．
（1）求橢圓Γ的方程；
（2）過左焦點F₁的直線l與橢圓Γ相交于A，B兩點，與圓x²+y²=a²相交于C，D兩點，求

|AB|

|CD|

的最小值，以及取得最小值時直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)P是橢圓Γ上任意一點，則|PF₁|-|PF₂|≤|F₁F₂|=2c，故c=1．解方程4x²-8x+3=0，得

1

2

=e=

c

a

，由此能求出橢圓Γ的方程．
（2）法一：焦準距p=

a2

c

-c=3，設(shè)∠OF₁B=θ（0≤θ＜π），由已知條件推導出

|AB|2

|CD|2

=

1

3+cos2θ

•

36

(4-cos2θ)2

．令t=4-cos²θ∈[3，4]，則

|AB|2

|CD|2

=

36

t2(7-t)

．令f（t）=t²（7-t），則f'（t）=-3t²+14t=t（14-3t）＞0，由此求出

|AB|

|CD|

的最小值為

3

2

，取得最小值直線l的方程為x=-1．
（2）法二：當l⊥x軸時，|AB|=3，|CD|=2

3

，有

|AB|

|CD|

=

3

2

．當l與x軸不垂直時，設(shè)l：y=k（x+1），代入

x2

4

+

y2

3

=1，得（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，由已和條件推導出

|AB|2

|CD|2

=

36t3

(4t-1)2(3t+1)

=

36

( 1 t )3-5( 1 t )2-8• 1 t +48

．由此能求出

|AB|

|CD|

的最小值為

3

2

，取得最小值直線l的方程為x=-1．

解答： 解：（1）設(shè)P是橢圓Γ上任意一點，
則|PF₁|-|PF₂|≤|F₁F₂|=2c，故c=1．
解方程4x²-8x+3=0，得x=

1

2

或x=

3

2

．
因0＜e＜1，故

1

2

=e=

c

a

，因此a=2，從而b²=3．
所以橢圓Γ的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）解法一：焦準距p=

a2

c

-c=3，設(shè)∠OF₁B=θ（0≤θ＜π），
則|F1B|=

3

2-cosθ

，|F1A|=

3

2+cosθ

，故|AB|=

12

4-cos2θ

．
|CD|=2

22-sin2θ

=2

3+cos2θ

，
故

|AB|2

|CD|2

=

1

3+cos2θ

•

36

(4-cos2θ)2

．
令t=4-cos²θ∈[3，4]，則

|AB|2

|CD|2

=

36

t2(7-t)

．
令f（t）=t²（7-t），則f'（t）=-3t²+14t=t（14-3t）＞0，
故f（t）在[3，4]單調(diào)遞增，從而f（t）≤f（4）=48，
得

|AB|2

|CD|2

≥

36

48

=

3

4

⇒

|AB|

|CD|

≥

3

2

，
當且僅當t=4即θ=

π

2

時取等號．
所以

|AB|

|CD|

的最小值為

3

2

，取得最小值直線l的方程為x=-1．
（2）解法二：當l⊥x軸時，|AB|=3，|CD|=2

3

，有

|AB|

|CD|

=

3

2

．
當l與x軸不垂直時，設(shè)l：y=k（x+1），
代入

x2

4

+

y2

3

=1，并整理得（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，
故|AB|2=(1+k2)(x1-x2)2=(1+k2)[(

-8k2

4k2+3

)2-4•

4k2-12

4k2+3

]=(

12k2+12

4k2+3

)2．
圓心O到l的距離d=

|k|

k2+1

，
故|CD|2=4(4-

k2

k2+1

)=

12k2+16

k2+1

，
令t=k²+1，則

|AB|2

|CD|2

=

36t3

(4t-1)2(3t+1)

=

36

( 1 t )3-5( 1 t )2-8• 1 t +48

．
令s=

1

t

，且f（s）=s³-5s²-8s+48，
則f'（s）=3s²-10s-8=（3s+2）（s-4）．
因t≥1，故s∈（0，1]，因此f'（s）＜0，從而f（s）＜f（0）=48，

|AB|2

|CD|2

＞

36

48

=

3

4

⇒

|AB|

|CD|

＞

3

2

．
綜上知

|AB|

|CD|

的最小值為

3

2

，取得最小值直線l的方程為x=-1．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查兩線段比值的最小值的求法，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．