A

解析：由題意：等比數(shù)列{}有連續(xù)四項(xiàng)在集合{-54,-24,18,36,81}中，由等比數(shù)列的定義知，四項(xiàng)是兩個(gè)正數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)且|q|>1,故-24, 36, -54,81符合題意，則q=,6q=-9.

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，則。

依題意得：，即    解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

①當(dāng)時(shí)，，

令得

當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：

0

—

0

+

0

—

單調(diào)遞減

極小值

單調(diào)遞增

極大值

單調(diào)遞減

又，，�！�在上的最大值為2.

②當(dāng)時(shí), .當(dāng)時(shí), ,最大值為0；

當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增�！�在最大值為。

綜上，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在區(qū)間上的最大值為2；

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在區(qū)間上的最大值為。

(Ⅲ)假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿(mǎn)足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè)，則，顯然

∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴

即    （*）

若方程（*）有解，存在滿(mǎn)足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；

若方程（*）無(wú)解，不存在滿(mǎn)足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.

若，則代入（*）式得：

即，而此方程無(wú)解，因此。此時(shí)，

代入（*）式得：    即   （**）

令 ，則

∴在上單調(diào)遞增，  ∵     ∴,∴的取值范圍是。

∴對(duì)于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。

因此，對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上存在兩點(diǎn)P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（湖南卷解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=ex-ax，其中a＞0.

（1）若對(duì)一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；

（2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點(diǎn)A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1<x2)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x0∈（x1,x2）,使恒成立.

【解析】解：令.

當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取最小值

于是對(duì)一切恒成立，當(dāng)且僅當(dāng).　　　　　　　�、�

令則

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.

故當(dāng)時(shí)，取最大值.因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，①式成立.

綜上所述，的取值集合為.

（Ⅱ）由題意知，令則

令，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.故當(dāng)，即

從而，又

所以因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在使即成立.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問(wèn)題等，考查運(yùn)算能力，考查分類(lèi)討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問(wèn)利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對(duì)一切x∈R，f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合；第二問(wèn)在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理，然后把問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)方程是否存在解的問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.

 

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