Question

（2012•安徽模擬）設(shè)函數(shù)f（x）=x³-x²-ax（a∈R）．
（I）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（II）若函數(shù)f（x）的圖象上存在與x軸平行的切線，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²-2x-1=（3x+1）（x-1），進(jìn)而可列表研究函數(shù)的單調(diào)性，從而確定極值；
（II）根據(jù)切線與橫軸平行，對函數(shù)求導(dǎo)，使得到函數(shù)等于0有實(shí)根，得到關(guān)于一元二次方程的判別式，求出結(jié)果．

解答：解：（I）∵f′（x）=3x²-2x-1=（3x+1）（x-1）．
由f'（x）=0，得x=1或x=-

1

3

，如下表

∴f（x）在x=-

1

3

取得極大值為f（-

1

3

）=

5

27

；f（x）在x=1取得極小值為f（1）=-1．
（II）∵f'（x）=3x²-2x-a．
∵函數(shù)f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，∴f'（x）=0有實(shí)數(shù)解．   …（10分）
∴△=（-2）²-4×3×（-a）≥0，
∴a≥-

1

3

，即 a≥-

1

3

．
因此，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-

1

3

，+∞）            …（12分）

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，考查學(xué)生分析解決問題的能力．