Question

已知方程（k²-4）x²-4（k+2）x+4=0．
（1）當(dāng)k取何值時，方程無實數(shù)；
（2）當(dāng)k取何值時，x=

1

4

是方程的一個根，另一個根存在；
（3）當(dāng)k取何值時，有一正一負(fù)根；
（4）當(dāng)k取何值時，有兩正根．

Answer 1

考點：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）分類討論，求出方程無解時，k的值．
（2）根據(jù)二次項的系數(shù)不等零、判別式大于零、x=

1

4

是方程的一個根，求出k的值．
（3）根據(jù)二次項的系數(shù)不等零、判別式大于零、兩根之積小于零，求得k的范圍．
（4）根據(jù)二次項的系數(shù)不等零、判別式大于零、兩根之積大于零、兩根之和大于零，求得k的范圍．

解答： 解：對于方程方程（k²-4）x²-4（k+2）x+4=0，
（1）當(dāng)k=-2時，方程為0x+4=0，無解．
當(dāng)k≠±2時，由△=64（k+2）＜0，求得k＜-2，
綜上，當(dāng)k≤-2時，方程無解．
（2）由題意可得，k≠±2，△=64（k+2）＞0，且（k²-4）（

1

4

）²-4（k+2）

1

4

+4=0，
求得k=14，故當(dāng)k=14時，x=

1

4

是方程的一個根，另一個根存在．
（3）由題意可得，k≠±2，△=64（k+2）＞0，兩根之積

4

k2-4

＜0，
求得-2＜k＜2，故當(dāng)-2＜k＜2時，方程有一正一負(fù)根．
（4）由題意可得，k≠±2，△=64（k+2）＞0，兩根之積

4

k2-4

＞0，兩根之和

4(k+2)

k2-4

＞0，
求得k＞2，即當(dāng)k＞2 時，方程有兩個整正根．

點評：本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．