Question

【題目】已知函數(shù)，且．

求定義域；

若函數(shù)的反函數(shù)是其本身，求a的值；

求函數(shù)的值域．

Answer 1

【答案】(1)； (2) ；(3) 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是．

【解析】

（1）由函數(shù)解析式的特征得到關(guān)于的不等式，解不等式可得所求結(jié)果；（2）求出函數(shù)的反函數(shù)，利用條件中給出的相等關(guān)系式求出的值；（3）先求出函數(shù)的定義域，然后通過分類討論得到函數(shù)的值域即可．

（1）由，得，

解得；

所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>．

（2）由，且，解得，

互換，得，

所以函數(shù)的反函數(shù)為．

由于函數(shù)的反函數(shù)是其本身，

所以．

（3）由題意得

，

由，得，

∴函數(shù)的定義域?yàn)?/span>．

∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

∴，

故的取值范圍是．

①當(dāng)時(shí)，，

∴函數(shù)的值域是．

②當(dāng)時(shí)，，

∴函數(shù)的值域是．

綜上可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是．