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已知點F是雙曲線（a＞0，b＞0）的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是    ．
【答案】分析：利用雙曲線的對稱性及銳角三角形∠AEF＜45°得到AF＜EF，求出A的坐標；求出AF，EF得到關于a，b，c的不等式，求出離心率的范圍．
解答：解：∵△ABE是銳角三角形
∴∠AEB為銳角
∵雙曲線關于x軸對稱，且直線AB垂直x軸
∴∠AEF=∠BEF＜45°
∴AF＜EF
∵F為左焦點，設其坐標為（-c，0）
所以A（）
所以AF=，EF=a+c
∴即c2-ac-2a2＜0
解得
雙曲線的離心率的范圍是（1，2）
故答案為（1，2）
點評：本題考查雙曲線的對稱性、考查雙曲線的三參數關系：c2=a2+b2、考查雙曲線的離心率問題就是研究三參數a，b，c的關系．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知點F是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知點F是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的右焦點，點C是該雙曲線的左頂點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點，若△ABC是銳角三角形，則此雙曲線離心率的取值范圍是（　�。�
A、（1，2）
B、（1，+∞）
C、(2，1+
2
)
D、(1，1+
2
)

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科目：高中數學 來源：2012年江蘇省南京市白下區(qū)高三迎市二�？荚嚁祵W試卷（解析版） 題型：解答題

已知點F是雙曲線（a＞0，b＞0）的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是    ．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（09年臨沭縣模塊考試理）已知點F是雙曲線（a＞0，b＞0）的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F且垂直與x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點，若△ABE是鈍角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是                （    ）

       A．（1，+∞）          B．（1，2）              C．（2，+∞）          D．（2，1+）

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