Question

已知函數(shù)f(x)=x2-(2a+1)x+alnx．(a≥

1

2

)
（1）若a＞

1

2

，求函數(shù)f(x)在x∈(0，a)上的最大值；
（2）若對任意x∈（0，a）時(shí)，恒有ma-f（x）＞1成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f′(x)=2x-(2a+1)+

a

x

=

2x2-(2a+1)x+a

x

，令f′（x）=0，得x1=

1

2

，x₂=a．由此進(jìn)行分類討論，能求出函數(shù)f（x）的最大值．
（2）由（1）知：當(dāng)a=

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，a），即（0，

1

2

）上單調(diào)遞增；a＞

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，a）上的最大值為f（

1

2

）．故“恒有ma-f（x）＞1成立”等價(jià)于“ma-1＞f（

1

2

）恒成立”，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）f′(x)=2x-(2a+1)+

a

x

=

2x2-(2a+1)x+a

x

，
令f′（x）=0，得x1=

1

2

，x₂=a．
∵a＞

1

2

，∴由f′（x）＞0，得函數(shù)f（x）在（0，

1

2

）上單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得函數(shù)f（x）在（

1

2

，a）上單調(diào)遞減．
∴函數(shù)f（x）的最大值為f（

1

2

）=

1

4

-

2a-1

2

+aln

1

2

=aln

1

2

-a-

1

4

．
（2）由（1）知：
當(dāng)①a=

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，a），即（0，

1

2

）上單調(diào)遞增；
②a＞

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，a）上的最大值為f（

1

2

）．
∴“恒有ma-f（x）＞1成立”等價(jià)于“ma-1＞f（

1

2

）恒成立”，
即ma-1＞f（

1

2

）=aln

1

2

-a-

1

4

，
∴m＞ln

1

2

-1+

3

4a

．
∵a≥

1

2

，∴l(xiāng)n

1

2

-1+

3

4a

的最大值為

1

2

+ln

1

2

，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|m＞

1

2

+ln

1

2

}．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)最大值的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算推導(dǎo)能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、分類討論能力．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．