Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為a，側棱長為，點D在棱A₁C₁上．
（1）若A₁D=DC₁，求證：直線BC₁∥平面AB₁D；
（2）若，二面角A₁-AB₁-D平面角的大小為θ，求tanθ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接A₁B交AB₁于E點，根據三角形的中位線定理，我可DE∥BC₁，再由線面平行的判定定理，即可得到直線BC₁∥平面AB₁D；
（2）過D作DM⊥A₁B₁于M，則DM⊥平面A₁ABB₁，過M作MN⊥AB₁于N，連接DN，則∠MND為二面角A₁-AB₁-D的平面角θ，解三角形DMN即可求出二面角A₁-AB₁-D平面角的正切值．
解答：解：（1）證明：連接A₁B交AB₁于E點，（1分）
在平行四邊形ABB₁A₁中，
有A₁E=BE，又A₁D=DC₁（3分）
∴DE為△A₁BC₁的中位線，從而DE∥BC₁，
又DE?平面AB₁D
∴直線BC₁∥平面AB₁D；                           （5分）
（2）過D作DM⊥A₁B₁于M，則DM⊥平面A₁ABB₁，過M作MN⊥AB₁于N，連接DN，則∠MND為二面角A₁-AB₁-D的平面角θ，（7分）
∵，
∴，，
過A₁作A₁F⊥AB₁于F，則，（10分）
∴．                                         （12分）
點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，其中（1）的關鍵是證得DE∥BC₁，（2）的關鍵是確定∠MND為二面角A₁-AB₁-D的平面角θ．