Question

已知函數,其中.

（1）當時,求函數在處的切線方程；

（2）若函數在區(qū)間(1,2)上不是單調函數,試求的取值范圍；

（3）已知,如果存在,使得函數在處取得最小值,試求的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1） （2） （3）

【解析】

試題分析：（1） 利用導數求切線方程,關鍵在于理解切點的三個含義,一是在切點處的導數值為切線的斜率,二是切點在曲線上,即切點坐標滿足曲線方程,三是切點在直線上,即切點坐標滿足直線方程,有時這一條件用直線兩點間斜率公式表示.因為所以,再根據點斜式寫出切線方程. （2）利用導數研究函數單調性,往往轉化為研究導函數為零時方程根的情況,本題函數在區(qū)間(1,2)上不是單調函數,就轉化為在區(qū)間(1,2)上有不相等的根,可由實根分布列充要條件,也可利用變量分離結合圖象求函數對應區(qū)域范圍,（3）已知函數最值求參數取值范圍，可從恒成立角度出發(fā)，實現(xiàn)等價轉化，也可分類討論求最值列等式.本題采取對恒成立較好.轉化為二次函數恒成立可從四個方面研究：一是開口方向，二是對稱軸，三是判別式，四是區(qū)間端點函數值的正負.

試題解析：（1）解:當時,,則,故 2分

又切點為,故所求切線方程為,即 4分

（2）由題意知,在區(qū)間(1,2)上有不重復的零點,

由,得,因為,所以 7分令,則,故在區(qū)間(1,2)上是增函數,所以其值域為,從而的取值范圍是 9分

（3）,

由題意知對恒成立,即對恒成立,即 ①對恒成立 11分

當時,①式顯然成立;

當時,①式可化為 ②,

令,則其圖象是開口向下的拋物線,所以 13分

即,其等價于 ③ ,

因為③在時有解,所以,解得,

從而的最大值為 16分

考點：利用導數求切線方程，利用導數研究函數單調性，不等式恒成立.