已知二次函數(shù)y=-x2+mx-1和點A(3,0),B(0,3),求二次函數(shù)的圖象與線段AB有兩個不同交點的充要條件.
分析:首先求出線段AB所在的方程,分兩個方面,必要性和充分性,必要性:聯(lián)立方程,根據(jù)二次函數(shù)的圖象與線段AB有兩個不同交點求出m的范圍;充分性,根據(jù)m的取值范圍,倒推二次函數(shù)的圖象與線段AB有兩個不同交點,可以根據(jù)求根公式求出x1,x2,然后再判斷;
解答:解:①必要性:由已知得,線段AB的方程為y=-x+3(0≤x≤3)…(1分)
由于二次函數(shù)圖象和線段AB有兩個不同的交點,
所以方程組
y=-x2+mx-1
y=-x+3(0≤x≤3)
*(1)有兩個不同的實數(shù)解.…(2分)
消元得:x2-(m+1)x+4=0(0≤x≤3),設(shè)f(x)=x2-(m+1)x+4,
則有
△=(m+1)2-4×4>0
f(0)=4≥0
f(3)=9-3(m+1)+4≥0⇒3<m≤
10
3
0<
m+1
2
<3
…(8分)
②充分性:∵當(dāng)3<m≤
10
3
時,由①知,x2-(m+1)x+4=0
∴x1=
m+1-
(m+1)2-16
2
m+1-
(m+1)2
2
>0 …(10分)x2=
m+1-
(m+1)2-16
2
10
3
+1+
(
10
3
+1)
2
-16
2
=3
…(12分)
∴方程x2-(m+1)x+4=0有兩個不等的實根x1,x2,且0<x1<x2≤3,方程組(1)有兩組不同的實數(shù)解.…(13分)
因此,拋物線y=-x2+mx-1和線段AB有兩個不同交點的充要條件3<m≤
10
3
.…(14分).
點評:此題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)和充要條件的定義,做題時要考慮全面,解此題的關(guān)鍵是聯(lián)立方程要化簡正確,計算量比較大,計算要仔細(xì).
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已知二次函數(shù)y=f(x)圖象的頂點是(-1,3),又f(0)=4,一次函數(shù)y=g(x)的圖象過(-2,0)和(0,2).
(1)求函數(shù)y=f(x)和函數(shù)y=g(x)的解析式;
(2)求關(guān)于x的不等式f(x)>3g(x)的解集.

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已知二次函數(shù)y=f(x)=x2+bx+c的圖象過點(1,13),且函數(shù)y=f(x-
12
)
是偶函數(shù).
(1)求f(x)的解析式;
(2)已知t<2,g(x)=[f(x)-x2-13]•|x|,求函數(shù)g(x)在[t,2]上的最大值和最小值.

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已知二次函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點,其導(dǎo)函數(shù)為f'(x)=6x-2,數(shù)列{an}的前n項和為Sn,點(n,Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y=f(x)的圖象上.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=
3
anan+1
,Tn是數(shù)列{bn}的前n項和,求出Tn;并求使得T
 
 
n
m
7
對所有n∈N*都成立的m的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,已知二次函數(shù)y=-x2+9,矩形ABOC的頂點A在第一象限內(nèi),且A在拋物線上,頂點B、C分別在y軸、x軸上,設(shè)點A的坐標(biāo)為(x,y).
(1)試求矩形ABOC的面積S關(guān)于x的函數(shù)解析式S=S(x),并求出該函數(shù)的定義域;
(2)是否存在這樣的矩形ABOC,使它的面積為6,并證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)y=f(x)圖象過點(0,3),它的圖象的對稱軸為x=2,且y=f(x)的兩個零點的差為2,求y=f(x)的解析式.

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