Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+2x²-3x．
（1）求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上存在唯一的極值點；
（2）當(dāng)x≥

1

2

時，若關(guān)于x的不等式f(x)≥

5

2

x2+(a-3)x+1恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求f′（0）與f′（1），看兩值是否異號，然后證明f′（x）在[0，1]上單調(diào)性，即可證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上存在唯一的極值點；
（2）將參數(shù)a分離出來，得到 a≤

ex- 1 2 x2-1

x

在[

1

2

，+∞）上恒成立，然后利用導(dǎo)數(shù)研究不等式右邊的函數(shù)在[

1

2

，+∞）上的最小值即可．

解答：解：（1）∵f′（0）=e⁰-3=-2＜0，f′（1）=e+1＞0，
∴f′（0）•f′（1）＜0，
令h（x）=f′（x）=e^x+4x-3，則h′（x）=e^x+4＞0，
∴f′（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，∴f′（x）在[0，1]上存在唯一零點，
∴f（x）在[0，1]上存在唯一的極值點

（2）由 f(x)≥

5

2

x2+(a-3)x+1，
得 ex+2x2-3x≥

5

2

x2+(a-3)x+1，
即 ax≤ex-

1

2

x2-1，
∵x≥

1

2

，∴a≤

ex- 1 2 x2-1

x

，
令 g(x)=

ex- 1 2 x2-1

x

，則 g′(x)=

ex(x-1)- 1 2 x2+1

x2

，
令 ?(x)=ex(x-1)-

1

2

x2+1，則?'（x）=x（e^x-1）
∵x≥

1

2

，∴?'（x）＞0，∴?（x）在 [

1

2

，+∞)上單調(diào)遞增，
∴?(x)≥?(

1

2

)=

7

8

-

1

2

e

＞0，
因此g'（x）＞0，故g（x）在 [

1

2

，+∞)上單調(diào)遞增，
則 g(x)≥g(

1

2

)=

e 1 2 - 1 8 -1

1 2

=2

e

-

9

4

．

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，以及函數(shù)恒成立問題等基礎(chǔ)題知識，考查運算求解能力、推理論證能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想．