Question

設曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點（1，1）處的切線與x軸的交點的橫坐標為x_n，則log₂₀₁₂X₁+log₂₀₁₂X₂+…+log₂₀₁₂X₂₀₁₁的值為    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意可得P（1，1），f′（x）=（n+1）xⁿ，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可求切線的斜率k，進而可求切線方程，切線方程，在方程中，令y=0可得，x_n=，利用累乘可求x₁x₂…x₂₀₁₁=，代入可求出答案．
解答：解：由題意可得P（1，1）
對函數(shù)f（x）=xⁿ⁺¹求導可得，f′（x）=（n+1）xⁿ
∴y=f（x）在點P處的切線斜率K=f′（1）=n+1，切線方程為y-1=（n+1）（x-1）
令y=0可得，x_n=
∴x₁x₂…x₂₀₁₁==
∴l(xiāng)og₂₀₁₂x₁+log₂₀₁₂x₂+…+log₂₀₁₂x₂₀₁₁=log₂₀₁₂（x₁x₂…x_n）
=log₂₀₁₂ =-1
故答案為：-1
點評：本題主要考查了導數(shù)的幾何意義的應用，累乘及對數(shù)的運算性質(zhì)的綜合應用，還考查了基本運算的能力．