Question

10．已知拋物線E：y²=2px（p＞0），直線x=my+3與E交于A、B兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=6，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求拋物線E的方程；
（2）已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3，0），記直線CA、CB的斜率分別為k₁，k₂，證明$\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{k}_{2}}^{2}}$-2m²為定值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：將直線方程代入拋物線方程，由韋達(dá)定理可知：y₁+y₂=2pm，y₁•y₂=-6p，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂=$\frac{{（y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{4{p}^{2}}$+y₁•y₂，求得9-6p=6，求得p的值，即可求得拋物線E的方程；
（2）由直線的斜率公式可知：k₁=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+3}$=$\frac{{y}_{1}}{m{y}_{1}+6}$，k₂=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+6}$=$\frac{{y}_{2}}{m{y}_{2}+6}$，$\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{k}_{2}}^{2}}$-2m²=（m+$\frac{6}{{y}_{1}}$）²+（m+$\frac{6}{{y}_{2}}$）²-2m²=2m²+12m×$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$+36×$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-2{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}^{2}{y}_{2}^{2}}$-2m²，由（1）可知：y₁+y₂=2pm=m，y₁•y₂=-6p=-3，代入即可求得$\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{k}_{2}}^{2}}$-2m²=24．

解答 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{x=my+3}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，整理得：y²-2pmy-6p=0，
由韋達(dá)定理可知：y₁+y₂=2pm，y₁•y₂=-6p，
則x₁•x₂=$\frac{{（y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{4{p}^{2}}$
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂=$\frac{{（y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{4{p}^{2}}$+y₁•y₂=9-6p=6，解得：p=$\frac{1}{2}$，
∴y²=x；
（2）證明：由直線CA的斜率k₁，k₁=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+3}$=$\frac{{y}_{1}}{m{y}_{1}+6}$，
CB的斜率k₂，k₂=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+6}$=$\frac{{y}_{2}}{m{y}_{2}+6}$，
∴$\frac{1}{{k}_{1}}$=m+$\frac{6}{{y}_{1}}$，$\frac{1}{{k}_{2}}$=m+$\frac{6}{{y}_{2}}$，
∴$\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{k}_{2}}^{2}}$-2m²=（m+$\frac{6}{{y}_{1}}$）²+（m+$\frac{6}{{y}_{2}}$）²-2m²，
=2m²+12m（$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{1}{{y}_{2}}$）+36×（$\frac{1}{{y}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{y}_{2}^{2}}$）-2m²，
=2m²+12m×$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$+36×$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-2{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}^{2}{y}_{2}^{2}}$-2m²，
由（1）可知：y₁+y₂=2pm=m，y₁•y₂=-6p=-3，
∴$\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{k}_{2}}^{2}}$-2m²=2m²+12m×（$-\frac{m}{3}$）+36×$\frac{{m}^{2}+6}{9}$-2m²=24，
∴$\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{k}_{2}}^{2}}$-2m²為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與拋物線的位置關(guān)系，考查直線的斜率公式及韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．