Question

已知關(guān)于x的實系數(shù)二次方程x²＋ax＋b＝0有兩個實數(shù)根α、β．試證：|α|＜2，|β|＜2的充要條件是2|a|＜4＋b且|b|＜4．

Answer 1

答案：
解析：

解：思路一：依題設(shè)，二次方程有兩個實根α、β，所以判別式Δ＝a2－4b≥0，不妨設(shè)α＝(－a－)，β＝·(－a＋)． 　�、�(必要性)∵|α|＜2，|β|＜2， 　　∴|b|＝|αβ|＝|α||β|＜4，且－2＜(－a－)，(－a＋)＜2， 　　即0≤＜4－a，0≤＜4＋a， 　　平方得a2－4b＜16－8a＋a2，a2－4b＜16＋8a＋a2． 　　由此得－4(4＋b)＜8a＜4(4＋b)， 　　∴2|a|＜4＋b． 　�、�(充分性)∵2|a|＜4＋b且|b|＜4， 　　∴|a|＜(4＋|b|)＜4，4±a＞0； 　　且Δ＝a2－4b＜a2－4(2|a|－4)＝a2±8a＋16＝(4±a)2， 　　又Δ≥0，∴＜4±a． 　　得－4＜－a－≤－a＋＜4， 　　∴－2＜α≤β＜2，得|a|＜2，|β|＜2． 　　思路二：①(必要性)根據(jù)韋達定理，|b|＝|αβ|＝|α||β|＜4， 　　因為二次函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b開口向上，|α|＜2，|β|＜2，故必有f(±2)＞0，即4＋2a＋b＞0，2a＞－(4＋b)；4－2a＋b＞0，2a＜4＋b． 　　∴2|a|＜4＋b． 　�、�(充分性)由2|a|＜4＋b得4＋2a＋b＞0， 　　即f(2)＞0，　�、� 　　且4－2a＋b＞0，即f(－2)＞0．　　Ⅱ 　　由此可知f(x)＝0的每個實根或者在區(qū)間(－2，2)之內(nèi)或者在區(qū)間(－2，2)之外． 　　若兩根α，β均落在(－2，2)之外，則與|b|＝|αβ|＝|α||β|＜4矛盾；若α(或β)落在(－2，2)之外，則由于|b|＝|αβ|＝|α||β|＜4，另一個根β(或α)必須落在(－2，2)之內(nèi)，則Ⅰ、Ⅱ矛盾． 　　綜上所述，α、β均落在(－2，2)之內(nèi)． 　　∴|α|＜2，|β|＜2． 　　分析：由題意知，條件與結(jié)論的關(guān)系是根與系數(shù)的特定關(guān)系，可依據(jù)求根公式與韋達定理進行轉(zhuǎn)換，亦可根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，揭示所需關(guān)系進而證明不等式．

提示：

注：思路二比思路一快捷方便，更具靈活性．