Question

已知函數(shù)f（x）=ln（ax），（a＞0），g（x）=

x-1

x

．
（1）若?x∈[1，+∞），f（x）≥g（x），求實數(shù)a的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，a取最小值時，記h（x）=f（x）-g（x），過點（1，-1）是否存在函數(shù)h（x）的切線？若存在，有多少條？若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）恒成立問題轉化為最值問題，（2）假設存在，把點坐標設出來，兩個點可以得出斜率，再和導數(shù)相比較．

解答： 解：（1）∵f（x）-g（x）=lnx+lna-1+

1

x

=lnx+

1

x

+lna-1
∴f′（x）-g′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

∵x≥1
∴f′（x）-g′（x）≥0
所以若使?x∈[1，+∞），f（x）≥g（x），則只需使f（1）≥g（1），
即lna≥0，即a≥1．
（2）h（x）=f（x）-g（x）=lnx+

1

x

-1，h（1）=0≠-1
假設存在過點（1，-1），函數(shù)h（x）的切線；設切點坐標為（m，lnm+

1

m

-1），則有
h′(m)=

m-1

m2

，k=

lnm+ 1 m -1+1

m-1

=

lnm+ 1 m

m-1

；

m-1

m2

=

lnm+ 1 m

m-1

，
即lnm=(

1

m

-

3

2

)2-

5

4

，

如圖，有一條切線．

點評：本題考查了恒成立問題及切線的斜率問題，綜合性較強．