Question

如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為A₁A中點(diǎn)．
（1）求證：A₁C∥平面EBD；
（2）求證：BD⊥A₁C；
（3）若AA1=4

2

，A1C=8，求三棱錐E-BDA的體積．

Answer 1

分析：（1）連接AC，交BD于O點(diǎn)，連接OE．在△AA₁C中利用中位線(xiàn)定理，可得EO∥A₁C，再用線(xiàn)面平行的判定定理，得到A₁C∥平面EBD；
（2）根據(jù)正棱柱的性質(zhì)，證出A₁A⊥BD，結(jié)合AC⊥BD，可得BD⊥平面AA₁C，最后根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可得BD⊥A₁C；
（3）RtRt△AA₁C中，利用勾股定理算出AC=4

2

，從而得到正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，可得三角形ABD面積為8，最后結(jié)合三棱錐E-BDA的高AE=2

2

，利用錐體體積公式算出
三棱錐E-BDA的體積．

解答：解：（1）連接AC，交BD于O點(diǎn)，連接OE
∵正方形ABCD中，O是對(duì)角線(xiàn)AC、BD的交點(diǎn)，∴O為AC中點(diǎn)
又∵E為A₁A的中點(diǎn)，∴△AA₁C中，EO∥A₁C
∵EO?平面EBD，A₁C?平面EBD，
∴A₁C∥平面EBD；
（2）∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱
∴A₁A⊥平面ABCD
∵BD?平面ABCD，∴A₁A⊥BD
又∵正方形ABCD中，AC⊥BD，A₁A和AC是平面AA₁C內(nèi)的相交直線(xiàn)
∴BD⊥平面AA₁C
∵A₁C?平面AA₁C，∴BD⊥A₁C；
（3）∵Rt△AA₁C中，AA1=4

2

，A1C=8
∴AC=

A1C2-AA12

=4

2

∴正方形ABCD中，邊長(zhǎng)AB=

2

2

AC=4
因此，三角形ABD的面積S=

1

2

×4×4=8
∵三棱錐E-BDA的高AE=

1

2

AA₁=2

2

∴三棱錐E-BDA的體積V=

1

3

×8×2

2

=

16

3

2

點(diǎn)評(píng)：本題以正四棱柱為例，證明線(xiàn)面平行和線(xiàn)線(xiàn)垂直，著重考查了空間的平行、垂直位置關(guān)系的證明和錐體體積的求法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．