Question

已知函數(shù)y=f（x）=ln（kx+），（k＞0）在x=1處取得極小值．
（1）求k的值；
（2）若f（x）在（，f（））處的切線方程式為y=g（x），求證當x＞0時，曲線y=f（x）不可能在直線y=g（x）的下方．

Answer 1

【答案】分析：（1）對函數(shù)求導，由已知得；
（2）由（1）知，則，即可得到y(tǒng)=f（x）在的切線方程，
將問題轉化為f（x）≥g（x）在（0，+∞）恒成立，
令，求出，故ϕ（x）≥0即f（x）≥g（x）在（0，+∞）恒成立，得證．
解答：解：（1），
由已知得．…（3分）
（2）當k=1時，
此時y=f（x）在（0，1）單調遞減，在（1，+∞）單調遞增…（5分）
由于，，
則y=f（x）在的切線方程為，即…（8分）
當x＞0時，曲線y=f（x）不可能在直線y=g（x）的下方?f（x）≥g（x）在（0，+∞）恒成立，
令，
當，，
即ϕ（x）≥0即f（x）≥g（x）在（0，+∞）恒成立，
所以當x＞0時，曲線y=f（x）不可能在直線y=g（x）的下方…（13分）
點評：本題考查函數(shù)導函數(shù)的應用，主要是求最值問題，本題解題的關鍵是對于不等式成立，只要用函數(shù)的最值來整理就使得問題解題的方向非常明確．