Question

如圖所示，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是線段AC上任意一點．
（1）判斷直線B₁P與平面A₁C₁D的位置關系并證明；
（2）若AB=BC，E是AB中點，二面角A₁-DC₁-D₁的余弦值是，求直線B₁E與平面A₁C₁D所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）直線B₁P∥平面A₁C₁D，證明平面AB₁C∥平面A₁C₁D，利用面面平行的性質，即可求得B₁P∥平面A₁C₁D；
（2）建立直角坐標系，求出平面A₁C₁D、平面D₁C₁D的法向量，利用二面角A₁-DC₁-D₁的余弦值是，確定，再利用向量的夾角公式，可求直線B₁E與平面A₁C₁D所成角的正弦值．
解答：解：（1）直線B₁P∥平面A₁C₁D，證明如下：

連接AB₁與B₁C，則A₁C₁∥AC，A₁D∥B₁C
∵AC∩B₁C=C
∴平面AB₁C∥平面A₁C₁D
∵B₁P?平面AB₁C
∴B₁P∥平面A₁C₁D；
（2）建立如圖所示的直角坐標系，

設A（1，0，0），D₁（0，0，a），則C₁（0，1，a），C（0，1，0），A（1，0，a），B（1，，0），B₁（1，1，a）
∴
設平面A₁C₁D的法向量為=（x，y，z），則，∴可取
∵平面D₁C₁D的法向量為
∴cos==
∴a=
∴
∴cos==-
∴直線B₁E與平面A₁C₁D所成角的正弦值．
點評：本題考查線面平行，考查線面角，考查利用空間向量解決立體幾何問題，屬于中檔題．