Question

如圖，在底面是正方形的四棱錐P－ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)是PC中點(diǎn)，G為AC上一點(diǎn)．

(1)求證：BD⊥FG；

(2)確定點(diǎn)G在線段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并說(shuō)明理由．

(3)當(dāng)二面角B－PC－D的大小為時(shí)，求PC與底面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

答案：
解析：

解：方法一：(Ⅰ)面ABCD，四邊形ABCD是正方形， 　　其對(duì)角線BD，AC交于點(diǎn)E，∴PA⊥BD，AC⊥BD 　　∴BD⊥平面APC，平面PAC， 　　∴BD⊥FG　　3分 　　(Ⅱ)當(dāng)G為EC中點(diǎn)，即時(shí)，F(xiàn)G∥平面PBD　　4分 　　理由如下： 　　連接PE，由F為PC中點(diǎn)，G為EC中點(diǎn)，知FG∥PE， 　　而FG平面PBD，PB平面PBD， 　　故FG∥平面PBD　　7分 　　(Ⅲ)作BH⊥PC于H，連結(jié)DH， 　　∵PA⊥面ABCD，四邊形ABCD是正方形， 　　∴PB＝PD， 　　又∵BC＝DC，PC＝PC， 　　 　　方法二解：以A為原點(diǎn)，AB，AD，PA所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，a)(a＞0)， 　　(Ⅰ) 　　 　　　　3分 　　(Ⅱ)要使FG∥平面PBD，只需FG∥EP， 　　而， 　　由可得，解得 　　　　6分 　　 　　故當(dāng)時(shí)，F(xiàn)G∥平面PBD　　7分 　　設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為 　　則，而 　　 　　∴PC與底面ABCD所成角的正切值是　　12分