Question

f（x）是定義在[-2π，2π]上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，f（x）=2cosx，當(dāng)x∈（π，2π]時(shí)，y=f（x）的圖象是斜率為，在y軸上截距為-2的直線在相應(yīng)區(qū)間上的部分． 
（1）求的值；    
（2）寫出函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式，作出圖象，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得：當(dāng)x∈（π，2π]時(shí)，，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得：f（-2π）=f（2π）與，進(jìn)而結(jié)合題中的條件可得答案．
（2）設(shè)x∈[-2π，-π），則-x∈（π，2π]，由題得：當(dāng)x∈（π，2π]時(shí)，，可得，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得；
同理可得：當(dāng)x∈[-π，0]時(shí)，f（x）=2cosx，即可得到答案．
解答：解：（1）因?yàn)楫?dāng)x∈（π，2π]時(shí)，y=f（x）的圖象是斜率為，在y軸上截距為-2的直線在相應(yīng)區(qū)間上的部分，
所以當(dāng)x∈（π，2π]時(shí)，，
又因?yàn)閥=f（x）是偶函數(shù)
所以．
又當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，f（x）=2cosx，
所以．
（2）設(shè)x∈[-2π，-π），則-x∈（π，2π]，
因?yàn)楫?dāng)x∈（π，2π]時(shí)，，
所以，
又因?yàn)閒（x）是定義在[-2π，2π]上的偶函數(shù)，
所以；
同理可得：當(dāng)x∈[-π，0]時(shí)，f（x）=2cosx，
所以
其圖象在[-2π，2π]上的圖象如圖所示，
故函數(shù)的遞增區(qū)間為[-π，0]，（π，2π]；遞減區(qū)間為[-2π，-π），[0，π]
點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、函數(shù)值、圖象等性質(zhì)，以及函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用與直線的點(diǎn)斜式方程，此題綜合性較強(qiáng)屬于中檔題．