Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C由圓弧C₁和圓弧C₂相接而成，兩相接點(diǎn)M、N均在直線x=6上，圓弧C₁的圓心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，半徑為10，圓弧C₂過點(diǎn)A（38，0）．
（1）求圓弧C₂的方程；
（2）曲線C上是否存在點(diǎn)P，滿足PA=

39

PO？若存在，指出有幾個(gè)這樣的點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）已知直線l：x-my-21=0與曲線C交于E、F兩點(diǎn)，當(dāng)EF=38時(shí)，求坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：直線與圓

分析：（1）根據(jù)圓弧C₁所在圓的方程為x²+y²=100，可得M，N的坐標(biāo)，從而可得直線AM的方程為y-4=4（x-22），進(jìn)而可求圓弧C₂所在圓的圓心為（21，0），圓弧C₂所在圓的半徑為=38-21=17，故可求圓弧C₂的方程；
（2）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P（x，y），則由PA=

39

PO，得x²+y²+2x-38=0，分別與圓弧方程聯(lián)立，即可知這樣的點(diǎn)P不存在；
（3）因?yàn)镋F＞r₂，EF＞r₁，所以E，F(xiàn)兩點(diǎn)分別在兩個(gè)圓弧上，根據(jù)直線l恒過圓弧C₂的圓心（21，0），可得EF=17+

102-d2

+

212-d2

=38，從而得解．

解答： 解：（1）圓弧C₁所在圓的方程為x²+y²=100，令x=6，解得：y=±8，即M（6，8），N（6，-8），
則直線AM的中垂線方程為 y-4=4（x-22），令y=0，得圓弧C₂所在圓的圓心為 （21，0），
又圓弧C₂所在圓的半徑為=38-21=17，
∴圓弧C₂的方程為（x-21）²+y²=289（x≥6）；
（2）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P（x，y），則由PA=

39

PO，得x²+y²+2x-38=0，
由

x2+y2+2x-38=0 x2+y2=100(-10≤x≤6)

，解得：x=-31（舍去）；
由

x2+y2+2x-38=0 (x-21)2+y2=289(38≥x≥6)

，解得：x=-

251

44

（舍去），
綜上知，這樣的點(diǎn)P不存在；
（3）∵EF＞r₂，EF＞r₁，
∴E，F(xiàn)兩點(diǎn)分別在兩個(gè)圓弧上，
又直線l恒過圓弧C₂的圓心（21，0），
∴EF=17+

102-d2

+

212-d2

=38，
解得：d²=

41600

441

，
解得：d=

40 26

21

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，曲線的交點(diǎn)，以及兩點(diǎn)間距離公式的運(yùn)用，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．