Question

已知的頂點(diǎn)在橢圓上，在直線上，且．

（1）當(dāng)邊通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)及的面積；

（2）當(dāng)，且斜邊的長(zhǎng)最大時(shí)，求所在直線的方程．

 

Answer 1

【答案】

（1），；（2）。

【解析】

試題分析：（1）由于直線過(guò)原點(diǎn)，故直線方程是已知的，可直接求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求出線段的長(zhǎng)，及邊上的高和面積；（2）設(shè)直線方程為，把方程與橢圓方程聯(lián)立，消去，得出關(guān)于的二次方程，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是這個(gè)方程的兩解，故必須滿足，而線段的長(zhǎng)，線段的長(zhǎng)等于平行線與間的距離，再利用勾股定理求出，這時(shí)一定是的函數(shù)，利用函數(shù)知識(shí)就可以求得結(jié)論。

試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014042204272262614680/SYS201404220428426886994121_DA.files/image017.png">，且過(guò)點(diǎn)，所以所在直線方程為。

設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

由　得。

∴。

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014042204272262614680/SYS201404220428426886994121_DA.files/image004.png">邊上的高等于原點(diǎn)到直線的距離，

所以。

（2）設(shè)直線的方程為，

由　得。

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014042204272262614680/SYS201404220428426886994121_DA.files/image005.png">在橢圓上，所以。

設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

則，

所以。

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014042204272262614680/SYS201404220428426886994121_DA.files/image012.png">的長(zhǎng)等于點(diǎn)到直線的距離，即，

所以。

所以當(dāng)時(shí)，邊最長(zhǎng)（這時(shí)），

此時(shí)所在直線方程為。

考點(diǎn)：直線和橢圓相交，弦長(zhǎng)問(wèn)題。