Question

函數(shù)y=log_ax當(dāng)x＞2 時(shí)恒有|y|＞1，則a的取值范圍是（　　）

• A．

  1

  2

  ≤a≤2且a≠1
• B．0＜a≤

  1

  2

  或1＜a≤2
• C．1＜a≤2
• D．a≥1或0＜a≤

  1

  2

Answer 1

分析：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與底數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而對(duì)底數(shù)的范圍時(shí)行分類討論，分兩類解出使不等式恒成立的a的取值范圍，再求它們的并集．

解答：解：因?yàn)楹瘮?shù)y=log_ax在x∈（2，+∞）上總有|y|＞1，
所以a分兩種情況討論，即0＜a＜1與a＞1．
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)y=log_ax在x∈（2，+∞）上單調(diào)遞減，并且有|y|＞1恒成立，
即總有y＜-1，則只需函數(shù)的最大值小于-1即可，
因?yàn)閰^(qū)間（2，+∞）是開區(qū)間，
所以有loga2≤-1∴a≥

1

2

，
解得：

1

2

≤a＜1．
②當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y=log_ax在x∈（2，+∞）上單調(diào)遞增，并且有|y|＞1恒成立，
即總有y＞1，則只需函數(shù)的最小值大于1即可，
因?yàn)閰^(qū)間（2，+∞）是開區(qū)間，
所以有l(wèi)og_a2≥1，解得：1＜a≤2．
由①②可得

1

2

≤a＜1或1＜a≤2
故選A．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握絕對(duì)值不等式與指、對(duì)不等式解答方法，即熟練掌握指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，一般解指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式時(shí)當(dāng)?shù)讛?shù)是參數(shù)時(shí)一般需要對(duì)參數(shù)的范圍時(shí)進(jìn)行分類討論，此題考查了恒成立問題（即求最值問題）與分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．