Question

某科技公司生產一種產品的固定成本為20 000元，每生產一個產品增加投資100元，已知總收益滿足函數R(x)＝(其中x是產品的月產量)，求每月生產多少個產品時該科技公司的利潤最大？最大利潤是多少？(注：總收益＝總成本＋利潤)

Answer 1

答案：
解析：

答：當每月生產300個產品時，該科技公司獲得的利潤最大，此時，獲得的最大利潤為25 000元． 　　分析：如果每月的產量為x個，根據題意，生產的成本滿足函數g(x)＝20 000＋100x，因此，公司所獲得的利潤滿足函數f(x)＝R(x)－g(x)． 　　解：設科技公司的月產量為x個，則總成本為20 000＋100x元，所以總利潤為 　　f(x)＝ 　　當0≤x≤400時，f(x)＝x2＋300x－20 000，此時，函數f(x)＝x2＋300x－20 000的對稱軸為x＝300∈[0，400]，所以當x＝300時，f(x)max＝25 000； 　　當x＞400時，f(x)＜60 000－100×400＜25 000． 　　綜上所述，當x＝300時，函數f(x)的最大值為25 000． 　　點評：這是一個分段函數求最值的問題．求解這類問題時應該先分別求出各段上的最值，然后再比較各段上的最值，最終得到函數在定義域上的最值，從而得到符合題意的解．