Question

【題目】已知橢圓的長軸長為6，離心率為.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)M，N為橢圓C上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且，記直線AM，BN的斜率分別為，且,求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)長軸長為6，離心率為，可求得的值，即可得答案；

（2）設(shè)的方程為，，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，利用得到方程，與韋達(dá)定理聯(lián)立，求得，進(jìn)一步求得關(guān)于的方程，求出的值，即可得到直線方程.

（1）由題意，可得，，，

聯(lián)立解得，，，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）如圖，由（1）知，

設(shè)的方程為，，

直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，

∵，根據(jù)對(duì)稱性可得，

聯(lián)立，整理得，

∴，

∵，∴，

即，

聯(lián)立解得，，

∵，，∴，

∴，∴，

∴直線的方程為，即.