Question

已知f(x)=

ex-1，x≤0 f(x-1)+1，x＞0

，則方程f(x)-x=0在區(qū)間[0，5)上所有實(shí)根和為（　�。�

A．15

B．10

C．6

D．4

Answer 1

分析：根據(jù)分段函數(shù)自變量的取值范圍，對區(qū)間[0，5）上的值進(jìn)行分類討論，分別求出方程f（x）-x=0的解，即可得出方程f（x）-x=0在區(qū)間[0，5）上所有實(shí)根和．

解答：解：當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=e⁰-1=0，故x=0是方程f（x）-x=0的一個(gè)根；
①當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）=f（x-1）+1=e^x-1，當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=e⁰=1，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）＞e⁰=1，故x=1是方程f（x）-x=0的一個(gè)根；
②當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f（x）=f（x-1）+1=f（x-2）+2=e^x-2+1，當(dāng)x=2時(shí)，f（2）=e⁰+1=2，當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，f（x）＞2，故x=2是方程f（x）-x=0的一個(gè)根；
③當(dāng)x∈（2，3]時(shí)，f（x）=f（x-3）+3=e^x-3+2，只有當(dāng)x=3時(shí)，f（3）=e⁰+2=3，故x=3是方程f（x）-x=0的一個(gè)根；
④當(dāng)x∈（3，4]時(shí)，f（x）=f（x-4）+4=e^x-4+3，只有當(dāng)x=4時(shí)，f（4）=e⁰+3=4，故x=4是方程f（x）-x=0的一個(gè)根；
⑤當(dāng)x∈（4，5]時(shí)，f（x）=f（x-5）+5=e^x-5+4，只有當(dāng)x=5時(shí)，f（5）=e⁰+4=5，故x=5是方程f（x）-x=0的一個(gè)根，但x=5∉[0，5）；
則方程f（x）-x=0在區(qū)間[0，5）上所有實(shí)根和為：0+1+2+3+4=10．
故選B．

點(diǎn)評：本題考查分段函數(shù)，考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于綜合題型．