對(duì)于數(shù)列{xn}滿足x1=a（a＞2），xn+1=（n=1，2，…）．
（1）求證：2＜xn+1＜xn（n=1，2，3，…）；
（2）若a≤3，{xn}前n項(xiàng)和為Sn，求證：Sn＜2n+（n=1，2，…）
【答案】分析：（1）利用數(shù)學(xué)歸納法證明，驗(yàn)證n=1命題成立，然后假設(shè)n=k時(shí)命題成立，然后證明n=k+1時(shí)命題也成立．
（2）利用xn+1=，推出xn+1-2≤（xn-2），如果求和，得到sn-2n＜（a-2），然后證明結(jié)果．
解答：證明：（1）（數(shù)學(xué)歸納法）先證：xn＞2．
∵當(dāng)n=1時(shí)，x1=a＞2成立
假設(shè)n=k時(shí)，xk＞2．
則：xk+1==•=[（xk-1）+]＞×4=2
∴xn＞2
又：xn+1-xn=-xn=＜0
∴xn＞xn+1，
就是說(shuō)n=k+1時(shí)2＜xn+1＜xn（n=1，2，3，…）也成立．
綜上知：2＜xn+1＜xn
（2）xn+1-2=-2==•（xn-2）
∵2＜xn≤x1≤3
∴[1-]≤•（1-）=
∴xn+1-2≤（xn-2）
∴xn-2≤（）n-1•（x1-2）=（）n-1•（a-2）
∴sn-2n=≤•（a-2）＜（a-2）•=（a-2）
∵（a-2）-=＜0
∴（a-2）＜
∴sn-2n＜   
 即sn＜2n+
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，放縮法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

12、在數(shù)列{an}中，若存在非零整數(shù)T，使得am+T=am對(duì)于任意的正整數(shù)m均成立，那么稱(chēng)數(shù)列{an}為周期數(shù)列，其中T叫做數(shù)列{an}的周期．若數(shù)列{xn}滿足xn+1=|xn-xn-1|（n≥2，n∈N），如x1=1，x2=a（a∈R，a≠0），當(dāng)數(shù)列{xn}的周期最小時(shí)，該數(shù)列的前2010項(xiàng)的和是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

對(duì)于數(shù)列{xn}，如果存在一個(gè)正整數(shù)m，使得對(duì)任意的n（n∈N*）都有xn+m=xn成立，那么就把這樣一類(lèi)數(shù)列{xn}稱(chēng)作周期為m的周期數(shù)列，m的最小值稱(chēng)作數(shù)列{xn}的最小正周期，以下簡(jiǎn)稱(chēng)周期．例如當(dāng)xn=2時(shí)，{xn}是周期為1的周期數(shù)列，當(dāng)yn=sin(
π
2
n)時(shí)，{yn}的周期為4的周期數(shù)列．
（1）設(shè)數(shù)列{an}滿足an+2=λ•an+1-an（n∈N*），a1+a，a2=b（a，b不同時(shí)為0），且數(shù)列{an}是周期為3的周期數(shù)列，求常數(shù)λ的值；
（2）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且4Sn=（an+1）2．
①若an＞0，試判斷數(shù)列{an}是否為周期數(shù)列，并說(shuō)明理由；
②若anan+1＜0，試判斷數(shù)列{an}是否為周期數(shù)列，并說(shuō)明理由．
（3）設(shè)數(shù)列{an}滿足an+2=-an+1-an（n∈N*），a1=1，a2=2，bn=an+1，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn，試問(wèn)是否存在p、q，使對(duì)任意的n∈N*都有p≤
Sn
n
≤q成立，若存在，求出p、q的取值范圍；不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

對(duì)于數(shù)列{xn}，如果存在一個(gè)正整數(shù)m，使得對(duì)任意的n（n∈N*）都有xm+n=xn成立，那么就把這樣一類(lèi)數(shù)列{xn}稱(chēng)作周期為m的周期數(shù)列，m的最小正值稱(chēng)作數(shù)列{xn}的最小正周期，以下簡(jiǎn)稱(chēng)周期．例如當(dāng)xn=2時(shí)，{xn}是周期為1的周期數(shù)列；當(dāng)yn=sin(
nπ2
)時(shí)，{yn}是周期為4的周期數(shù)列．設(shè)數(shù)列{an}滿足an+2=λ•an+1-an(n∈N*)，a1=1，a2=20．
（1）若數(shù)列{an}是周期為3的周期數(shù)列，則常數(shù)λ的值是
-1
-1
；
（2）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若λ=1，則S2012=
21
21
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

對(duì)于數(shù)列{xn}滿足x1=a（a＞2），xn+1=
x
2
n
2(xn-1)
（n=1，2，…）．
（1）求證：2＜xn+1＜xn（n=1，2，3，…）；
（2）若a≤3，{xn}前n項(xiàng)和為Sn，求證：Sn＜2n+
a
2
（n=1，2，…）

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