Question

（2013•黑龍江二模）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
平面直角坐標系xoy中，點A（2，0）在曲線C₁：

x=acosφ y=sinφ

，（a＞0，φ為參數(shù)）上．以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為：ρ=acosθ
（Ⅰ）求曲線C₂的普通方程
（Ⅱ）已知點M，N的極坐標分別為（ρ₁，θ），（ρ2，θ+

π

2

），若點M，N都在曲線C₁上，求

1

ρ 2 1

+

1

ρ 2 2

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由點A在曲線C₁：

x=acosφ y=sinφ

，（a＞0，φ為參數(shù)）上求出a的值，代入ρ=acosθ后化為普通方程可得曲線C₂的普通方程；
（Ⅱ）求出曲線C₁的直角坐標方程，化點M，N的極坐標為直角坐標后代入曲線C₁的直角坐標方程，整理后即可得到

1

ρ 2 1

+

1

ρ 2 2

的值．

解答：解：（Ⅰ）∵點A（2，0）在曲線C₁上，∴

2=acosφ 0=sinφ

，
∵a＞0，∴a=2，∴ρ=2cosθ．
由

x=ρcosθ y=ρsinθ

，得（x-1）²+y²=1．
所以曲線C₂的普通方程為（x-1）²+y²=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得曲線C₁：

x=2cosφ y=sinφ

的普通方程為

x2

4

+y2=1．
由題意得點M，N的直角坐標分別為（ρ₁cosθ，ρ₁sinθ），(ρ2cos(θ+

π

2

)，ρ2sin(θ+

π

2

))．
∵點M，N在曲線C₁ 上，
∴

ρ12cos2θ

4

+ρ12sin2θ=1，

ρ22sin2θ

4

+ρ22cos2θ=1．
∴

1

ρ 2 1

+

1

ρ 2 2

=(

cos2θ

4

+sin2θ)+(

sin2θ

4

+cos2θ)=

5

4

．

點評：本題考查了圓的參數(shù)方程，簡單曲線的極坐標方程，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，訓(xùn)練了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式．本題出現(xiàn)最多的問題是計算上的問題，是中檔題．