Question

定義在R上的函數(shù)f（x），若對任意x₁≠x₂，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁），則稱f（x）為“Z函數(shù)”，給出下列函數(shù)：
①y=

1

3

x³-x²+x-2；②y=2x-（sinx+cosx）；③y=e^x+1；④f（x）=

ln|x|， x≠0 0， x=0.

其中是“Z函數(shù)”的個數(shù)為（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：函數(shù)的概念及其構(gòu)成要素

專題：

分析：不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）等價為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，即滿足條件的函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵對于任意給定的不等實數(shù)x₁，x₂，不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）恒成立，
∴不等式等價為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立，
即函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)．
①y=-

1

3

x³-x²+x-2；y'=x²-2x+1=（x-1）²，則函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增．
②y=2x-（sinx+cosx）；y'=2-（cosx-sinx）=2+

2

sin（x-

π

4

）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，滿足條件．
③y=e^x+1為增函數(shù)，滿足條件．
④f（x）=

ln|x|，x≠0 0，x=0

，當x＞0時，函數(shù)單調(diào)遞增，當x＜0時，函數(shù)單調(diào)遞減，不滿足條件．
故選C．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用，將條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性的形式是解決本題的關(guān)鍵．