Question

已知直線l₀：x-y+2=0和圓C：x²+y²-8x+8y+14=0，設(shè)與直線l₀和圓C都相切且半徑最小的圓為圓M，直線l與圓M相交于A，B兩點(diǎn)，且圓M上存在點(diǎn)P，使得

OP

=

OA

+

OB

=λ

a

，其中

a

=(1 ， 3)．
（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求直線l的方程及相應(yīng)的點(diǎn)P坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）化簡圓C為標(biāo)準(zhǔn)方程（x-4）²+（y+4）²=18，求出圓心C（4，-4），半徑r₀=3

2

，求出圓心C到直線l₀的距離d₀，推出⊙M的半徑r，利用⊙M的圓心M在經(jīng)過點(diǎn)C（4，-4），與l₀的垂直的直線上，設(shè)出圓心M（x₀，-x₀），則由|MC|=r+r₀，解得M坐標(biāo)，求出M的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）由

OP

=

OA

+

OB

=λ

a

=（λ，3λ），求出P的坐標(biāo)，求出k_AB，設(shè)直線l：y=-

1

3

x+b，利用圓心M（0，0）到直線l的距離，求出P，得到直線l的方程．

解答：解：（1）∵圓C：x²+y²-8x+8y+14=0，即（x-4）²+（y+4）²=18，
所以圓心C（4，-4），半徑r₀=3

2

，圓心C到直線l₀的距離d₀=

|4+4+2|

2

=5

2

，
則⊙M的半徑r=

d0-r

2

=

2

，
⊙M的圓心M在經(jīng)過點(diǎn)C（4，-4），與l₀的垂直的直線上，即在直線y=-x上
設(shè)圓心M（x₀，-x₀），則由|MC|=r+r₀=4

2

，解得M（0，0）或（8，-8）
其中只有M（0，0）滿足到直線l₀的距離為半徑r=

2

，即符合題意
⊙M的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x²+y²=2．
（2）由

OP

=

OA

+

OB

=λ

a

=（λ，3λ），即點(diǎn)P（l，3l）代入⊙M：x²+y²=2，，得l=

5

5

，
P（

5

5

，

3 5

5

）或（-

5

5

，-

3 5

5

），且k_OP=3，
∵

OP

=

OA

+

OB

，且|

OP

|=|

OA

|+|

OB

|=r，
∴

OP

⊥

AB

，kAB=-

1

kOP

=-

1

3

，
 設(shè)直線l：y=-

1

3

x+b，即x+3y-3b=0，
圓心M（0，0）到直線l的距離d′=

|-3b|

10

=

r

2

=

2

2

，
解得3b=

5

 則當(dāng)點(diǎn)P（

5

5

，

3 5

5

）時(shí)，l：x+3y-

5

=0；
當(dāng)點(diǎn)P（-

5

5

，-

3 5

5

）時(shí)，l：x+3y+

5

=0．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓的方程的綜合應(yīng)用，圓心坐標(biāo)的求法，圓心到直線的距離的求法，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想．