Question

已知正方體ABCD-A，B1C1D1中．
（1）求異面直線ABCD與A₁B₁C₁D₁所成角的大小
（2）求證：BD⊥A₁C；
（3）求三棱錐C₁-A₁BD的體積．

Answer 1

分析：（1）求異面直線所成的角，一般有兩種方法，一種是幾何法，其基本解題思路是“異面化共面，認定再計算”，即利用平移法和補形法將兩條異面直線轉(zhuǎn)化到同一個三角形中，結(jié)合余弦定理來求．還有一種方法是向量法，即建立空間直角坐標系，利用向量的代數(shù)法和幾何法求解．本題由于四邊形CDA₁B₁是平行四邊形∴A₁D∥B₁C，即用第一種方法較為簡單．
（2）欲證明直線與直線垂直，可以先證明直線與平面垂直．由BD⊥平面AA₁C，可得BD⊥A₁C
（3）利用割補法易得：V_C-ABD=V_ABCD-_ABCD-4V_A-ABD

解答：解：（1）連接A₁D，A₁B，知四邊形CDA₁B₁是平行四邊形
∴A₁D∥B₁C，∴∠A₁DB或其補角是異面直線BD與B₁C所成的角（2分）
又∵A₁D=A₁B=BD=

2

a，∴∠A₁DB=60°（3分）
∴異面直線BD與B₁C所成的角是60°（4分）
（2）證明：由正方體知：⊥

A1A⊥底面ABCD   BD∈底面ABCD

?

A1A⊥BD 又AC⊥BD A1A∩AC=A

?

BD⊥面AA1C A1C?面AA1C

?BD⊥AC₁
（3）解：V_A-ABD═

1

3

×S_△ABD×AA₁=

1

3

×

1

2

×a×a×a=a³（10分）
V_C-ABD=V_ABCD-_ABCD-4V_A-ABD=a³-4×

1

6

a³=

1

3

a³（12分）

點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、面面關(guān)系、二面角的度量、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．