Question

已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，且S_n=2a_n+n²-3n-2（n=1，2，3…）．令b_n=a_n-2n（n=1，2，3…）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）令，記T_n=c₁c₂+2c₂c₃+2²c₃c₄+…+2^n-1c_nc_n+1，比較T_n與的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)Sn與an的固有關(guān)系an=，由已知可得a_n+1=2a_n-2n+2，轉(zhuǎn)化構(gòu)造數(shù)列{b_n}．研究其性質(zhì)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）b_n=a_n-2n=2ⁿ  得 ^{_{， =}}，∴2 ^n-1 c_nc_n+1=×（-），T_n可求其表達(dá)式，再進(jìn)行證明．
解答：解：（Ⅰ）∵S_n=2a_n+n²-3n-2，
∴S_n+1=2a_n+1+（n+1）²-3（n+1）-2．
∴a_n+1=2a_n-2n+2，
∴a_n+1-2（n+1）=2（a_n-2n）．
∴b_n=a_n-2n是以2為公比的等比數(shù)列             
（Ⅱ）a₁=S₁=2a₁-4，∴a₁=4，∴a₁-2×1=4-2=2．
∴a_n-2n=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ+2n．
b_n=a_n-2n=2ⁿ =T_n=c₁c₂+2c₂c₃+2²c₃c₄+…+2^n-1c_nc_n+1
=×+2××+…+2^n-1××
=×（-）+×（-）+…+×（-）
=×（-）
=-∴
點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的判定，通項公式、數(shù)列求和，不等式的證明，考查轉(zhuǎn)化構(gòu)造、計算能力．