Question

5．某市交管部門(mén)對(duì)一路段限速60km/h，為調(diào)查違章情況，對(duì)經(jīng)過(guò)該路段的300輛汽車進(jìn)行檢測(cè)，將所得數(shù)據(jù)按[40，50），[50.60），[60，70），[70，80）（所有車輛的車速均在[40，80]內(nèi)）分成四組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）若用分層抽樣的方法，從這300輛車中抽取20輛，則違章車有多少輛？其中多少輛車的車速不低于70km/h？
（2）用此次檢測(cè)結(jié)果估計(jì)全市車輛的違章情況，若隨機(jī)抽取3輛車．
（i）求這3輛車中違章車輛數(shù)ξ的分布列及期望；
（ii）假如這3輛車都是違章車輛，從中隨機(jī)抽取1輛，求其車速不低于70km．h的概率．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖知求出不違章車的頻率為0.8，違章車的頻率為0.2，由此能求出結(jié)果．
（2）（i）用此次檢測(cè)結(jié)果估計(jì)全市車輛違章情況，則每輛車違章的概率為0.2，由已知得隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2，3，且ξ～B（3，0.2），由此能求出這3輛車中違章車輛數(shù)ξ的分布列及期望．
（ii）由已知，每輛車違章的概率為0.2，而車速不低于70km/h的概率為0.005，由條件概率計(jì)算公式能求出結(jié)果．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖知，不違章車的頻率為：（0.035+0.045）×10=0.8，
違章車的頻率為：（0.005+0.015）×10=0.2，
∴此次檢測(cè)不違章車有300×0.8=240輛，違章車有300×0.2=60輛，
按分層抽樣的方法從中抽取20輛，則違章車有：20×0.2=4輛，
其中車速不低于70km/h的有20×0.005×10=1輛．
（2）（i）用此次檢測(cè)結(jié)果估計(jì)全市車輛違章情況，則每輛車違章的概率為0.2，
由已知得隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2，3，且ξ～B（3，0.2），
P（ξ=0）=0.8³=0.512，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}0.2•0．{8}^{2}$=0.384，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}0．{2}^{2}•0.8=0.096$，
P（ξ=3）=0.2³=0.008，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	0.512	0.384	0.096	0.008

Eξ=3×0.2=0.6．
（ii）由已知，每輛車違章的概率為0.2，而車速不低于70km/h的概率為0.005，
∴由條件概率計(jì)算公式得假如這3輛車都是違章車輛，從中隨機(jī)抽取1輛，其車速不低于70km/h的概率：
p=$\frac{0.05}{0.2}=0.25$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖、分層抽樣、離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望、條件概率等知識(shí)，考查學(xué)生的閱讀理解能力、識(shí)圖能力及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．