Question

給出下列命題：
①若A，B是銳角△ABC的兩內(nèi)角，則有sinA＞cosB；
②在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=sinx與y=lgx的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)；
③如果

sinα-2cosα

3sinα+5cosα

=-5，那么tanα的值為-

23

16

；
④存在實(shí)數(shù)x，使得等式sinx+cosx=

3

2

成立；
⑤若0＜x≤1，則

sin2x

x2

＜

sinx

x

其中正確的命題為______（寫出所有正確命題的序號(hào)）．

Answer 1

對(duì)于①：
A、B、C為銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角，
∵A+B＞

π

2

，∴A＞

π

2

-B，
∴sinA＞sin（

π

2

-B），
即sinA＞cosB．∴①正確；
對(duì)于②：
畫出函數(shù)y=sinx和y=lgx的圖象，
結(jié)合圖象易知這兩個(gè)函數(shù)的圖象有3交點(diǎn)．


所以②錯(cuò)誤；
對(duì)于③：
由題意可知：cosα≠0，分子分母同除以cosα，

tanα-2

3tanα+5

=-5，
∴tanα=--

23

16

．
∴③正確；
對(duì)于④：
sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)≤

2

，
∵

3

2

＞

2

，
∴④錯(cuò)誤：
對(duì)于⑤：
∵當(dāng)x為銳角時(shí)，則有
sinx＜x＜tanx，
∴0＜

sinx

x

＜1，
∴

sin2x

x2

＜

sinx

x

，
故⑤正確；
故答案為①③⑤