Question

已知橢圓C₁和拋物線C₂有公共焦點F(1，0)，C₁的中心和C₂的頂點都在坐標原點，過點M(4，0)的直線l與拋物線C₂分別相交于A，B兩點。
(Ⅰ)寫出拋物線C₂的標準方程；
(Ⅱ)若，求直線l的方程；
(Ⅲ)若坐標原點O關于直線l的對稱點P在拋物線C₂上，直線l與橢圓C₁有公共點，求橢圓C₁的長軸長的最小值。

Answer 1

解：(Ⅰ)由題意，拋物線C₂的方程為：y²=4x。
(Ⅱ)設直線AB的方程為：y=k（x-4）(k存在且k≠0)，
聯(lián)立，消去x，得ky²-4y-16k=0，
顯然△=16+64k²＞0，
設A（x₁，y₁），B(x₂，y₂)，則，  ①
y₁·y₂=-16，    ②
又，所以，，③
由①②③消去y₁，y₂，得k²=2，
故直線l的方程為y=x-4或y=-x+4。
(Ⅲ)設P(m，n)，則OP中點為，
因為O，P兩點關于直線y=k(x-4)對稱，
所以，，
即，解得：，
將其代入拋物線方程，得：，
所以，k²=1，
聯(lián)立，消去y，得
(b²+a²k²)x²-8k²a²x+16a²k²-a²b²=0，
由△=(-8k²a²)²-4(b²+a²k²)(16a²k²-a²b²)≥0，
得16a²k⁴-(b²+a²k²)(16k²-b²)≥0，
即a²k²+b²≥16k²，
將k²=1，b²=a²-1代人上式并化簡，得 2a²≥17，所以，
即2a≥，
因此，橢圓C₁長軸長的最小值為。