Question

如圖，正三棱錐ABC—A₁B₁C₁中，底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為，若經(jīng)過(guò)對(duì)角線AB₁且與對(duì)角線BC₁平行的平面交上底面于DB₁.

(1)試確定D點(diǎn)的位置，并證明你的結(jié)論；

(2)求平面AB₁D與側(cè)面AB₁所成的角及平面AB₁D與底面所成的角；

(3)求A₁到平面AB₁D的距離.

Answer 1

解析：(1)D為A₁C₁的中點(diǎn)，連結(jié)A₁B與AB₁交于E，則E為A₁B的中點(diǎn)，DE為平面AB₁D與平面A₁BC₁的交線，?

∵BC₁∥平面AB₁D，BC₁∥DE,?

∴D為A₁C₁的中點(diǎn).?

(2)過(guò)D作DF⊥A₁B₁于F，由正三棱錐的性質(zhì),AA₁⊥DF,∴DF⊥平面AB₁.?

連結(jié)DG，則∠DGF為平面AB₁D與側(cè)面AB₁所成的角的平面角，可求得DF=a.?

由△B₁FG≌△B₁AA₁，得FG=a.?

∴∠DGF=.?

∵D為A₁C₁的中點(diǎn)，∴B₁D⊥A₁C₁.?

由正三棱錐的性質(zhì)，AA₁⊥B₁D.?

∴B₁D⊥平面A₁C.∴B₁D⊥AD.?

∴∠A₁DA是平面AB₁D與上底面所成的角的平面角，可求得tan∠A₁DA=,?

∴∠A₁DA=arctan.?

(3)過(guò)A₁作A₁M⊥AD，∵B₁D⊥平面A₁C，∴B₁D⊥A₁M.∴A₁M⊥平面AB₁D，即A₁M是A₁到平面AB₁D的距離.AD=a,∴A₁M=a.